mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 22, 2016 1:12 am**

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους που διέρχονται από το ορθόκεντρο του τριγώνου και τέμνουν τις

στα σημεία $\left( {{C_1},{C_2}} \right),\left( {{A_1},{A_2}} \right),\left( {{B_1},{B_2}} \right)$ αντίστοιχα. Αν είναι σημεία των ευθειών των πλευρών αντίστοιχα,

ώστε : $\dfrac{{N{C_1}}}{{N{C_2}}} = \dfrac{{M{A_1}}}{{M{A_2}}} = \dfrac{{L{B_1}}}{{L{B_2}}} = \lambda > 0$ να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά.

Παρατήρηση: Προφανώς το θεώρημα του Droz – Farny είναι ειδική περίπτωση του παραπάνω για $\lambda =1$

Υ.Σ. Η ιδέα της γενίκευσης ανήκει σε έναν από τους μεγαλύτερους γεωμέτρες όλων των εποχών, τον αγαπητό μου φίλο Κώστα Βήττα

Εγώ απλώς γράφω τη λύση που είναι παρόμοια με αυτή που έχω δώσει εδώ για να δείξω ότι εφαρμόζεται και στη Γενίκευση

Απόδειξη

: Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny.png (48.27 KiB) Προβλήθηκε 2519 φορές

$\bullet$ Έστω τα σημεία τομής των ${{C}_{1}}M,{{C}_{1}}L$ με τις εκ των ${{A}_{2}},{{B}_{2}}$ παραλλήλων προς την ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ αντίστοιχα

Προφανώς ισχύει $\boxed{\dfrac{{{A_1}{C_1}}}{{{A_2}M'}} = \dfrac{{M{C_1}}}{{MM'}} = \dfrac{{M{A_1}}}{{M{A_2}}} = \lambda = \dfrac{{L{B_1}}}{{L{B_2}}} = \dfrac{{L{C_1}}}{{LL'}} = \dfrac{{{B_1}{C_1}}}{{{B_2}L'}}}:\left( 1 \right)$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\,\Theta .\user1{\Theta }\alpha \lambda \eta } \boxed{NL\parallel {C_2}L'\,\,\& \,\,NM\parallel {C_2}M'}:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{{{C_1}{A_1}}}{{{A_2}M'}} = \dfrac{{{C_1}{B_1}}}{{{B_2}L'}} = \lambda \Rightarrow \boxed{\dfrac{{{B_2}L'}}{{{A_2}M'}} = \dfrac{{{C_1}{B_1}}}{{{C_1}{A_1}}}}:\left( 3 \right)$ .

Ας είναι οι ορθές προβολές των στις $H{{B}_{1}},H{{A}_{1}}$ αντίστοιχα και $T\equiv AF\cap BQ$ .

Προφανώς ορθογώνιο (τρεις ορθές γωνίες από κατασκευής) οπότε $\boxed{TF = HQ}:\left( 4 \right)$ .

Με $\angle AH{B_1} = \angle B{A_2}H\,\,\& \,\,\angle A{B_1}H = \angle BH{A_2}$ (κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) προκύπτει ότι

$\vartriangle AH{B_1} \sim \vartriangle BH{A_2}\mathop \Rightarrow \limits^{AF \bot HB,BQ \bot {A_2}H} \dfrac{{F{B_1}}}{{HQ}} = \dfrac{{H{B_1}}}{{H{A_2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)}$ $\dfrac{{F{B_1}}}{{TF}} = \dfrac{{H{B_1}}}{{H{A_2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{TF\parallel {A_2}H,{B_1},F,H\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } {B_1},T,{A_2}$ συνευθειακά.

Έτσι έχουμε: $\dfrac{{B{A_2}}}{{B{A_1}}}\mathop = \limits^{BT\parallel {A_1}{B_1}} \dfrac{{T{A_2}}}{{T{B_1}}} = \mathop = \limits^{AT\parallel {A_2}{B_2}}$ $\dfrac{{A{B_2}}}{{A{B_1}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{A{B_2}}}{{B{A_2}}} = \dfrac{{A{B_1}}}{{B{A_1}}}}:\left( 5 \right)$ .
[attachment=0]Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny.png[/attachment]
$\bullet$ Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle C{{A}_{2}}{{B}_{2}}$ με διατέμνουσα την $A{{C}_{2}}B$ προκύπτει ότι: $\dfrac{{{C_2}{B_2}}}{{{C_2}{A_2}}} \cdot \dfrac{{B{A_2}}}{{BC}} \cdot \dfrac{{AC}}{{A{B_2}}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{{C_2}{B_2}}}{{{C_2}{A_2}}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} \cdot \dfrac{{A{B_2}}}{{B{A_2}}}}:\left( 6 \right)$ .

Ομοίως από το Θ.Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ με διατέμνουσα την $A{{C}_{1}}B$ προκύπτει ότι: $\dfrac{{{C_1}{B_1}}}{{{C_1}{A_1}}} \cdot \dfrac{{B{A_1}}}{{BC}} \cdot \dfrac{{AC}}{{A{B_1}}} = 1 \Rightarrow$ $\boxed{\dfrac{{{C_1}{B_1}}}{{{C_1}{A_1}}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} \cdot \dfrac{{A{B_1}}}{{B{A_1}}}}:\left( 7 \right)$ .

Από $\left( 6 \right),\left( 7 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} \dfrac{{{C_2}{B_2}}}{{{C_2}{A_2}}} = \dfrac{{{C_1}{B_1}}}{{{C_1}{A_1}}}\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \dfrac{{{B_2}L'}}{{{A_2}M'}}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{{B_2}L'\parallel {A_2}M',{A_2},{B_2},{C_2}\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } M',{C_2},L'$ συνευθειακά οπότε από την $\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι

και συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Η ως άνω απόδειξη αφιερώνεται σε ενδειξη τιμής και σεβασμού στον αγαπητό μου φίλο Κώστα Βήττα. Κώστα σε ευχαριστώ θερμά

Στάθης Κούτρας

Υ.Σ. Κώστα αν θέλεις (μόνο το σχήμα θα σου κοστίσει) γράψε και την πανέμορφη δική σου λύση εδώ μήπως και μας δει ο Jean – Louis Ayme

γιατί ο Droz - Farny δύσκολα θα μας δει από "ψηλά"

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 22, 2016 1:31 pm**

Στάθη, καλό απόγευμα και σ' ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση, ιδιαίτερα τιμητική για μένα. Όσο για τα άλλα που γράφεις πιο πάνω, τα προσπερνώ όπως αρμόζει σε έναν ερασιτέχνη.

Η ιδέα της γενίκευσης του Θεωρήματος Droz-Farny, δεν είναι κανούρια. Δεν είναι δύσκολο να σκεφτεί κάποιος την γενίκευση, διαβάζοντας την απόδειξη που βασίζεται στο δυνατό Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο , το οποίο αληθεύει για κυρτό ή μη κυρτό, αλλά και για στρεβλό τετράπλευρο και για τυχόντες λόγους τμημάτων.

Μου έστειλε ο Παναγιώτης Χρονόπουλος, τον οποίο ευχαριστώ και από εδώ, αρκετές παραπομπές σχετικές με το θέμα που συζητάμε, τις οποίες θα βάλω αργότερα, γιατί τώρα έχω προβληματικό internet.

Βάζω ( copy-paste ) την απόδειξη ξανά εδώ, με προσαρμοσμένο το σχήμα για υποστήριξη της γενίκευσης και αργότερα, τις παραπομπές.

: Γενίκευση του Θεωρήματος Droz-Farny.; f=185_t=56074.PNG (19.47 KiB) Προβλήθηκε 2311 φορές

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle A_{1}B_{1}C$ με διατέμνουσα την $AC_{1}B$ , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε $\displaystyle \frac{C_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}}\cdot \frac{AB_{1}}{AC}\cdot \frac{BC}{BA_{1}} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{C_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}} = \frac{AC}{AB_{1}}\cdot \frac{BA_{1}}{BC}\ \ \ ,(1)$

Στο τρίγωνο $\vartriangle A_{2}B_{2}C$ με διατέμνουσα την $AC_{2}B$ , έχουμε $\displaystyle \frac{C_{2}A_{2}}{C_{2}B_{2}}\cdot \frac{AB_{2}}{AC}\cdot \frac{BC}{BA_{2}} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{C_{2}A_{2}}{C_{2}B_{2}} = \frac{AC}{AB_{2}}\cdot \frac{BA_{2}}{BC}\ \ \ ,(2)$

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε $\displaystyle \frac{AB_{1}}{AB_{2}} = \frac{BA_{1}}{BA_{2}}\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{BA_{1}}{AB_{1}} = \frac{BA_{2}}{AB_{2}}\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{C_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}} = \frac{C_{2}A_{2}}{C_{2}B_{2}}}\ \ \ ,(4)$

Από (4)

τώρα, στο μη κυρτό τετράπλευρο $A_{1}B_{1}B_{2}A_{2}$ , σύμφωνα με το Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο

αγγλιστί ERIQ theorem

, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $M,\ N,\ L$ ανήκουν στην ίδια ευθεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής, στον αγαπητό φίλο Tran Quang Hung .

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τετράπλευρο με $AC\perp BD$ και $P\equiv AC\cap BD$ και ας είναι $S,\ T$ , οι προβολές του επί των $AB,\ CD$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $\displaystyle \frac{EA}{EB} = \frac{ZC}{ZD}$ , όπου $E\equiv AB\cap PT$ και $Z\equiv CD\cap PS$ . (*)

Στάθη, μένει τώρα να δούμε αν οι δύο αποδείξεις μας για την γενίκευση, όπως εμφανίζονται στο

, είναι πρωτοεμφανιζόμενες. Αν πράγματι ισχύει αυτό, προτείνω να ετοιμάσουμε απο κοινού ένα άρθρο για δημοσίευση, όπως κάνουν και άλλοι "εν ζωή γεωμέτρες".

Και πάλι σ' ευχαριστώ , Κώστας Βήττας.

(*) Για την απόδειξη του Λήμματος, βλέπε Εδώ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 22, 2016 4:31 pm**

Καλημέρα. Χάριν πληρότητας προσθέτω και τη λύση της οποίας είχα δώσει το σκαρίφημα προηγουμένως.

Αν τα L, M, N

ικανοποιούν τη συνθήκη της εκφώνησης, τότε υπάρχουν $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε $\overrightarrow{L} = \lambda \overrightarrow {A_1} + \mu \overrightarrow {A_2}, \overrightarrow{M} = \lambda \overrightarrow {B_1} + \mu \overrightarrow {B_2}, \overrightarrow{N} = \lambda \overrightarrow {C_1} + \mu \overrightarrow {C_2}$ .

Ζητείται η συγγραμμικότητα των $\left( \lambda \overrightarrow {A_1} + \mu \overrightarrow {A_2} \right) - \left( \lambda \overrightarrow {B_1} + \mu \overrightarrow {B_2} \right)$ και $\left( \lambda \overrightarrow {B_1} + \mu \overrightarrow {B_2} \right) - \left( \lambda \overrightarrow {C_1} + \mu \overrightarrow {C_2} \right)$ που ισοδυναμεί με τη συγγραμμικότητα των $\lambda \overrightarrow{A_1B_1} + \mu \overrightarrow{A_2B_2}, \lambda \overrightarrow{B_1C_1} + \mu \overrightarrow{B_2C_2}$ . Επειδή όμως τα A_1, B_1, C_1

είναι συγγραμμικά, όπως και τα A_2, B_2, C_2

, και οι δύο φορείς δεν είναι παράλληλοι, αυτό ισοδυναμεί με την αναλογία $\displaystyle \frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ .

Έστω $\phi \equiv \angle{BA_1H}$ . Με νόμο ημιτόνων στα $\triangle{B_1AC_1}, \triangle{B_1AH}$ , γνωρίζοντας ότι $AH = 2R \cos \hat{A}$ , παίρνουμε $\displaystyle B_1C_1 = B_1A \frac{\sin \hat{A}}{\sin(\phi + \hat{B})} = 2R \cos \hat{A} \frac{\cos \phi}{\sin (\phi - \hat{C})} \frac{\sin \hat{A}}{\sin(\phi + \hat{B})} = \frac{R \cos \phi \sin 2 \hat{A}}{\sin(\phi - \hat{C}) \sin( \phi + \hat{B})}$ . Ομοίως $\displaystyle A_1B_1 = - \frac{R \sin 2\hat{C} \cos (\phi + \hat{B})}{\sin \phi \sin(\phi - \hat{C})}$ .

Έτσι, $\displaystyle \frac{A_1B_1}{B_1C_1} = - \frac{\sin 2 \hat{C} \sin (2 \phi + 2 \hat{B})}{\sin 2 \hat{A} \sin 2 \phi}$ . Αφού ο τύπος είναι αμετάβλητος αν προσθέσουμε $\pi/2$ στην $\phi$ , ισούται επίσης με $\displaystyle \frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 22, 2016 4:33 pm**

Οι παραπομπές που μου έστειλε ο Παναγιώτης Χρονόπουλος.

1) http://geometry.ru/articles/short-Droz-Farny.pdf - Συνθετική απόδειξη της γενίκευσης.

A Short Proof of Lamoen’s Generalization of the Droz-Farny Line Theorem , by Cosmin Pohoata and Son Hong Ta.

2a) http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/ ... index.html - Πρώτη δημοσίευση συνθετικής απόδειξης του Θεωρήματος Droz-Farny.

A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem , by Jean-Louis Ayme.

2b) http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... -Farny.pdf - Δημοσίευση στην ιστοσελίδα του by Jean-Louis AYME.

THE DROZ - FARNY's LINE - THE FIRST PURELY SYNTHETIC PROOF.

3) https://en.wikipedia.org/wiki/Droz-Farny_line_theorem - Περαιτέρω γενικεύσεις του θεωρήματος Droz-Farny, όπου το

είναι τυχόν σημείο και όχι απαραίτητα το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Η μία (1930 !) by Rene Coormanghtigh και οι άλλες δύο by Dao Than Qai.

Κώστας Βήττας.

mathematica.gr

Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny

Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny

Re: Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny

Re: Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny

Re: Γενίκευση του Θεωρήματος Droz - Farny