mathematica.gr

Έστω η εσωτερική διχοτόμος τριγώνου και ας είναι τα σημεία τομής της στο καθέτου στην και του περίκυκλου του τριγώνου με τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας αντίστοιχα. Αν είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τις αντίστοιχα , τότε να δειχθεί ότι
i) Τα σημεία ανήκουν σε κύκλο (έστω κέντρου )
ii) Αν με μεταξύ των να δειχθεί ότι είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου , όπου

Στάθης

Υ.Σ. Το παραπάνω πρόβλημα προέκυψε ως ενδιάμεσο αποτέλεσμα προσπάθειας λύσης ενός αρκετά νομίζω δύσκολου προβλήματος. Για το ii) ερώτημα δεν έχω ακόμα τεκμηριωμένη λύση

Για το πρώτο:

Στα τρίγωνα οι ίσες βρίσκονται αντίστοιχα απέναντι από τις παραπληρωματικές . Άρα οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των θα είναι ίσες και αφού οι είναι οξείες και τα ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο του , το είναι εγγράψιμο.

dement έγραψε:Για το πρώτο:

Στα τρίγωνα οι ίσες βρίσκονται αντίστοιχα απέναντι από τις παραπληρωματικές . Άρα οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των θα είναι ίσες και αφού οι είναι οξείες και τα ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο του , το είναι εγγράψιμο.

Πολύ ωραία απάντηση