mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 19, 2011 11:00 am**

Αν $a,b \in R^*$ , με a^2+b^2=4

, να δειχτεί ότι $a^4+b^4+a^{-4}+b^{-4}\geq \displaystyle \frac{17}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 19, 2011 11:49 am**

Θέτουμε για ευκολία x=a^2~~y=b^2

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle x^2+y^2+(\frac{1}{x})^2+(\frac{1} {y})^2\geq 17/2$

Λόγω της συνθήκης είναι: $\displaystyle x^2+y^2=4^2-2xy~~(1)$

Είναι επίσης $\displaystyle xy\leq (\frac{x+y}{2})^2$ άρα $xy\leq4~~(2)$

Λόγω της (1) αρκεί να δείξουμε την

$\displaystyle 16-2xy+(\frac{1}{x})^2+(\frac{1} {y})^2\geq 17/2$

Όμως είναι $\displaystyle(\frac{1}{x})^2+ (\frac{1} {y})^2\geq \frac{2}{xy}~~(3)$

Aπό (2) και (3) έχουμε

$\displaystyle 16-2xy+(\frac{1}{x})^2+(\frac{1} {y})^2\geq 16-8+\frac{2}{xy}\geq16-8+\frac{2}{4}=17/2$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 19, 2011 12:31 pm**

${a}^{4}+{b}^{4}+{a}^{-4}+{b}^{-4}={{a}^{2}}^{2}+{{b}^{2}}^{2}+\frac{{a}^{4}+{b}^{4}}{{(ab)}^{4}}$
και $2({{a}^{2}}^{2}+{{b}^{2}}^{2})\geq {({a}^{2}+{b}^{2})}^{2}=16\Leftrightarrow {{a}^{2}}^{2}+{{b}^{2}}^{2}\geq 8(1)$ [λόγω της ανισοτητας Buniakowski-Cauchy-Swartz]

Ισχύει ότι : ${a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow ab\leq 2\Leftrightarrow {(1/ab)}^{4}\geq 1/16$ Επομένως $\frac{{a}^{4}+{b}^{4}}{{(ab)}^{4}}\geq1/2(2)$ Με πρόσθεση των σχέσεων 1,2 κατά μέλη έπεται το ζητούμενο

mathematica.gr

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα