εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 1:06 am
Με την ύλη της Α΄λυκείου να λύσετε την εξίσωση
![\displaystyle{
\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}} = 3
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/21a86722a40d6261a9a3ed0797954397.png "\displaystyle{
\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}} = 3
}")
Έχουμε λοιπόν
![\displaystyle{
\begin{array}{l}
\frac{{\left( {\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}} \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{9}{{\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}}} = 3 \Leftrightarrow \\
\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }} = 3 \\
\end{array}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/18f8471af1e22492498f561ceea4d1ae.png "\displaystyle{
\begin{array}{l}
\frac{{\left( {\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}} \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{9}{{\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }}}} = 3 \Leftrightarrow \\
\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)^2 }} - \sqrt[3]{{x + 5}}\sqrt[3]{{4 - x}} + \sqrt[3]{{\left( {4 - x} \right)^2 }} = 3 \\
\end{array}
}")
Θέτω α=
![\displaystyle{
{\sqrt[3]{{x + 5}}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/383c445b042d84222bbd5890520462c2.png "\displaystyle{
{\sqrt[3]{{x + 5}}}
}")
β=
![\displaystyle{
{\sqrt[3]{{4 - x}}}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/90f9c6988370986282e992cf9950bd79.png "\displaystyle{
{\sqrt[3]{{4 - x}}}
}")
Οπότε α+β=3 και αβ=2 με (α,β)=(2,1) ή (α,β)=(1,2)
οπότε εύκολα χ=3 ή χ=-4
Σελίδα 1 από 1
Re: εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 1:53 am
Δεν ξέρω αν ανταποκρίνεται στην απαίτηση για ύλη της α' λυκείου
Έχουμε λοιπόν
Θέτω α=
β=
Οπότε α+β=3 και αβ=2 με (α,β)=(2,1) ή (α,β)=(1,2)
οπότε εύκολα χ=3 ή χ=-4
Έχουμε λοιπόν
Θέτω α=
β=
Οπότε α+β=3 και αβ=2 με (α,β)=(2,1) ή (α,β)=(1,2)
οπότε εύκολα χ=3 ή χ=-4
Re: εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 1:57 am
Για 
θέτουμε ![k=\sqrt[3]{x+5} \Leftrightarrow x=k^{3}-5](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/98d6618443cfeffa189fd3b0cbed3d73.png "k=\sqrt[3]{x+5} \Leftrightarrow x=k^{3}-5")
, ![w=\sqrt[3]{4-x}\Leftrightarrow x=4-w^{3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/26bdd4c8440e71b3e80e0725ad6460f4.png "w=\sqrt[3]{4-x}\Leftrightarrow x=4-w^{3}")
,
οπότε η εξίσωση γίνεται
ενώ εξισώνοντας τα x βρίσκουμε: 
.
Επομένως διαιρώντας την (ΙΙ) με την (Ι) προκύπτει
,
η οποία λόγω της (Ι) γίνεται:
.
Επομένως:
, οπότε 
.
Υ.Γ. Με πρόλαβε ο Γιάννης. Πάντως νομίζω ότι ανταποκρίνεται στην ύλη της Α΄ Λυκείου.
θέτουμε , ,οπότε η εξίσωση γίνεται
ενώ εξισώνοντας τα x βρίσκουμε: .Επομένως διαιρώντας την (ΙΙ) με την (Ι) προκύπτει
,η οποία λόγω της (Ι) γίνεται:
.Επομένως:
, οπότε .Υ.Γ. Με πρόλαβε ο Γιάννης. Πάντως νομίζω ότι ανταποκρίνεται στην ύλη της Α΄ Λυκείου.
Re: εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 9:27 am
Η λύση που είδα είναι με ταυτότητα Euler .
Με τον περιορισμό
έχουμε
![\displaystyle{
\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}} + \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right) = 0
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dc49cb6367dc26cad1f3e35cc0e6477e.png "\displaystyle{
\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{4 - x}} + \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right) = 0
}")
Ισοδύναμα από ταυτότητα Euler
![\displaystyle{
\left( {\sqrt[3]{{x + 5}}} \right)^3 + \left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)^3 + \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right)^3 = 3 \cdot \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} \cdot \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right) \Leftrightarrow
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fa6635bac3186dc49603b795b87d9bc6.png "\displaystyle{
\left( {\sqrt[3]{{x + 5}}} \right)^3 + \left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)^3 + \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right)^3 = 3 \cdot \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} \cdot \left( { - \sqrt[3]{{3^3 }}} \right) \Leftrightarrow
}")
![\displaystyle{
x + 5 + 4 - x - 27 = - 9 \cdot \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} = 2 \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {4 - x} \right) = 8 \Leftrightarrow ...
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cfd18b57873468149c6ef5c4530b13bd.png "\displaystyle{
x + 5 + 4 - x - 27 = - 9 \cdot \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 5}} \cdot \sqrt[3]{{4 - x}} = 2 \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {4 - x} \right) = 8 \Leftrightarrow ...
}")
και καταλήγουμε x = -4 ή x = 3
Πολύ όμορφες οι λύσεις σας Γιάννη και Λευτέρη . Σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε .
Με τον περιορισμό
έχουμεΙσοδύναμα από ταυτότητα Euler
και καταλήγουμε x = -4 ή x = 3 Πολύ όμορφες οι λύσεις σας Γιάννη και Λευτέρη . Σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε .
Re: εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 18, 2009 3:53 pm
Καλησπέρα! Πολύ εντυπωσιακές οι λύσεις σας, θα γράψω και εγώ μια οχι τοσο αξιότιμη.( με λίγα λόγια μια βαρετή λύση...)
Συνήθως σε άθροισμα ή σε διαφορά κυβικών ριζών (έτσι λέγονται;;;) χρησιμοποιώ ή την ταυτότητα Euler ή τις απλές ταυτότητες με δυναμεις τρίτης,
Ονομάζουμε![a=\sqrt[3]{x+5}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1548f6886ca97a9d6267967a4887d2af.png "a=\sqrt[3]{x+5}")
και ![\beta =\sqrt[3]{4-x}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4c14b8dcdbff9dac8fd229741c72d4c9.png "\beta =\sqrt[3]{4-x}")
οπότε έχουμε:
![a+\beta =3\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta \right)^{3}=27\Leftrightarrow a^3+\beta ^{3}+3a\beta \left(a+\beta \right)=27\Leftrightarrow x+5+4-x+9a\beta=27\Leftrightarrow 9\alpha \beta =18\Leftrightarrow a\beta =2\Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{x+5} \right)\left(\sqrt[3]{4-x} \right)=2\Leftrightarrow \left(x+5 \right)\left(4-x \right)=8\Leftrightarrow x^2+x-12=0\Leftrightarrow \left(x+ 4\right)\left(x-3 \right)=0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/14166dcbeab8147dbbbacda980f12ad5.png "a+\beta =3\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta \right)^{3}=27\Leftrightarrow a^3+\beta ^{3}+3a\beta \left(a+\beta \right)=27\Leftrightarrow x+5+4-x+9a\beta=27\Leftrightarrow 9\alpha \beta =18\Leftrightarrow a\beta =2\Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{x+5} \right)\left(\sqrt[3]{4-x} \right)=2\Leftrightarrow \left(x+5 \right)\left(4-x \right)=8\Leftrightarrow x^2+x-12=0\Leftrightarrow \left(x+ 4\right)\left(x-3 \right)=0")
οπότε ή χ=-4 ή χ=3.
Συνήθως σε άθροισμα ή σε διαφορά κυβικών ριζών (έτσι λέγονται;;;) χρησιμοποιώ ή την ταυτότητα Euler ή τις απλές ταυτότητες με δυναμεις τρίτης,
Ονομάζουμε
και οπότε έχουμε:
οπότε ή χ=-4 ή χ=3.