mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 22, 2009 4:13 pm**

Να ορισθεί το μ στην εξίσωση: $\displaystyle{{x^2} - \mu x + \mu - 1 = 0}$ ούτως, ώστε το τετράγωνο της διαφοράς των ριζών της να είναι μεγαλύτερο του 4 και μικρότερο του 16.
Γρηγόρης Φαράκος
Υ.Γ.
Ξεφυλλίζοντας τα παλαιά τεύχη της Ε.Μ.Ε.( Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ, όπως λεγόταν τότε), στο τεύχος του Ιανουαρίου 1939 και στη σελίδα 288, βρήκα την παραπάνω άσκηση με αριθμό 16650, την οποίαν προτείνει για λύση ο… μαθητής Γρηγόρης Φαράκος!!! ( Διετέλεσε γενικός γραμματέας του ΚΚΕ!!!. Έχει αποβιώσει πριν λίγα χρόνια. Είχα τον γιό του μαθητή στο φροντιστήριο ).

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 22, 2009 5:33 pm**

Είναι Δ= $\mu ^{2}-4(\mu -1)=\mu ^{2}-4\mu +4=(\mu -2)^{2}$

Πρέπει Δ>0 άρα μ $\neq 2$ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Έστω $\rho _{1},\rho _{2}$ οι ρίζες αυτές .Σύμφωνα με τους τύπους Vieta θα ειναι: $\rho _{1}+\rho _{2}=\mu$ , $\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\mu -1$ .Συμφωνα με το ζητούμενο θα είναι :
4< $(\rho _{1}- \rho _{2})^{2}$ <16
$\Leftrightarrow 4<\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}-2\rho _{1}\rho _{2}<16$
$\Leftrightarrow 4<(\rho _{1}+\rho _{2})^{2}-4\rho _{1}\rho _{2}<16$
$\Leftrightarrow 4<\mu ^{2}-4(\mu -1)<16$
$\Leftrightarrow 4<\mu ^{2}-4\mu +4<16$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\mu ^{2}-4\mu >0 \\ \mu ^{2}-4\mu <12 \end{matrix}\right$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\mu <0\eta \mu >4 \\ -2<\mu <6 \end{matrix}\right$
Άρα μ $\epsilon (-2,0)\bigcup{}$ (4,6)
Ελπίζω να μην εχω γράψει κάτι λάθος...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 22, 2009 10:53 pm**

Πολύ σωστά Κωνσταντίνα αλλά εγώ βρίσκω τις λύσεις αφού δεν είναι δύσκολο να βρεθούν, $\displaystyle{ \rho _1 = \mu - 1 }$ και $\displaystyle{ \rho _2 = 1 }$

Άρα η σχέση γίνεται: $\displaystyle{ 4 < \left( {\rho _1 - \rho _2 } \right)^2 < 16 \Leftrightarrow \sqrt 4 < \sqrt {\left( {\rho _1 - \rho _2 } \right)^2 } < \sqrt {16} \Leftrightarrow 2 < \left| {\rho _1 - \rho _2 } \right| < 4 \Leftrightarrow 2 < \left| \mu-2 \right| < 4 }$

και αν τις λύσουμε βρίσκουμε το ίδιο..................................................................................................................

mathematica.gr

3Α-Άλγεβρα

3Α-Άλγεβρα

Re: 3Α-Άλγεβρα

Re: 3Α-Άλγεβρα