mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 07, 2010 8:10 pm**

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^2 + \beta x + 1 = 0}$ με α, β πραγματικοί αριθμοί και α < 0

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες
2. Αν $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ οι ρίζες της εξίσωσης με δεδομένο ότι ισχύει |4α + 2β + 1| < |2α| να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {x_1 - 2} \right| \cdot \left| {x_2 - 2} \right| < 2}$
3. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (0, 4)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 07, 2010 8:29 pm**

1. Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι η $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha >0$ εφόσον $\alpha < 0$ οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.

2. Οι τύποι του Vietta δίνουν $\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-\beta}{\alpha}$ και $\displaystyle x_{1} \cdot x_{2}=\frac{1}{\alpha}$ οπότε η ζητούμενη παράσταση είναι ίση με

$\displaystyle |x_{1}-2| \cdot |x_{2}-2|=|(x_{1}-2) \cdot (x_{2}-2)|=|x_{1} \cdot x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4|=|\frac{1}{\alpha}+2\frac{\beta}{\alpha}+4|=$

$= \displaystyle |\frac{1+2\beta+4 \alpha}{\alpha}|=\frac{|1+2\beta+4 \alpha|}{|\alpha|}<\frac{2|\alpha|}{|\alpha|}=2$

3. Με την παραπάνω συνθήκη ισχύει $\displaystyle |x_{1}-2| \cdot |x_{2}-2|<2$ οπότε κάποιος από τους παράγοντες $|x_{1}-2|$ , $|x_{2}-2|$ είναι γνήσια μικρότερος του 2 (διαφορετικά $|x_{1}-2| \cdot |x_{2}-2| \geq 4$ άτοπο) ,οπότε αν θεωρήσουμε $|x_{1}-2| <2 \Rightarrow 0<x_{1}<4$

mathematica.gr

τριώνυμο

τριώνυμο

Re: τριώνυμο