mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 28, 2024 9:19 pm**

α) Δείξτε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών θετικών ακεραίων αυξημένο κατά ένα , είναι τέλειο τετράγωνο .

β) Στην παρακάτω ισότητα , αντικαταστήστε τα a , b

, με κατάλληλες παραστάσεις του θετικού ακεραίου

:

(x+k)(x+k+1)(x+k+2)(x+k+3)+1=(x^2+ax+b)^2

. Παράδειγμα : k=5

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 28, 2024 11:14 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2024 9:19 pm
α) Δείξτε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών θετικών ακεραίων αυξημένο κατά ένα , είναι τέλειο τετράγωνο .

Έστω

θετικός ακέραιος.
$n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)+1=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1=\left( n^{2} +3n+1\right)^{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 29, 2024 7:17 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2024 9:19 pm
α) Δείξτε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών θετικών ακεραίων αυξημένο κατά ένα , είναι τέλειο τετράγωνο .

β) Στην παρακάτω ισότητα , αντικαταστήστε τα , με κατάλληλες παραστάσεις του θετικού ακεραίου :

. Παράδειγμα : .

Πρόκειται για χιλιοειπωμένη άσκηση, μέσα και έξω από το φόρουμ. Βλέπε π.χ. εντός φόρουμ

εδώ

εδώ ποστ #2

εδώ ποστ #7

εδώ ποστ #8

εδώ ποστ #32

και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 29, 2024 10:38 am**

Πράγματι το - βασικό - πρώτο ερώτημα είναι ιδιαίτερα δημοφιλές . Η άσκηση πάντως αναρτήθηκε κυρίως για το δεύτερο

ερώτημα , το οποίο βέβαια μπορεί να λυθεί και ανεξάρτητα αλλά μάλλον δυσκολότερα ( μιλάμε για Άλγεβρα Α' Λυκείου ) .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 29, 2024 12:15 pm**

Ωραία. Ας το συνεχίσουμε λοιπόν με βάση την λύση του Τηλέμαχου στο ποστ #2. Με n=x+k

, όχι κατ' ανάγκη ακέραιο, έχουμε

(x^2+ax+b)^2=(n^2+3n+1)^2

, ισοδύναμα για κάθε

είναι

ή

. H πρώτη δίνει

$\displaystyle{x^2+ax+b=n^2+3n+1 = (x+k)^2+3(x+k)+1= x^2+(2k+3)x+(k^2+{\color{red}3k}+1)}$ . Συγκρίνοντας είναι $a=2k+3,\, b=k^2+{\color{red}3k}+1$ .

H δεύτερη, με το πλην, εύκολα απορρίπτεται.

Edit: Διόρθωση παράληψης.

mathematica.gr

Διαδοχικοί ακέραιοι

Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι

Re: Διαδοχικοί ακέραιοι