Μόνο με τέχνασμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 03, 2025 1:16 pm
Να λυθεί ( με κατάλληλο τέχνασμα ) , η εξίσωση : 
Θανάση,
μήπως είναι κάτι λάθος; Το Wolfram δε μου δίνει πραγματικές ρίζες. Μήπως, θες την εξίσωση
Σελίδα 1 από 1
Re: Μόνο με τέχνασμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 03, 2025 2:41 pm
Re: Μόνο με τέχνασμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 03, 2025 3:30 pm
Αν δεν κάνω λάθος η αρχική εξίσωση γράφεταιTolaso J Kos έγραψε: ↑Δευ Φεβ 03, 2025 2:41 pmΘανάση,
μήπως είναι κάτι λάθος; Το Wolfram δε μου δίνει πραγματικές ρίζες. Μήπως, θες την εξίσωση
, οπότε όντως δεν έχει πραγματικές λύσεις.Θεωρώ, όμως, ότι ακριβώς αυτό πρέπει να δείξουμε.
Re: Μόνο με τέχνασμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 03, 2025 6:09 pm
Υποθέστε ότι είχατε την άσκηση : Να λυθεί ( με κατάλληλο τέχνασμα ) , η εξίσωση : 
.
Η προφανής απάντηση θα ήταν : Η εξίσωση γράφεται :
, οποία είναι αδύνατη (στο 
) .
Παρόμοια απάντηση θέλουμε κι εδώ , αλλά η εύρεση των δύο τετραγώνων είναι δυσκολότερη . Πάντως
την γραφή του
είχα κατά νου . 
.Η προφανής απάντηση θα ήταν : Η εξίσωση γράφεται :
, οποία είναι αδύνατη (στο ) .Παρόμοια απάντηση θέλουμε κι εδώ , αλλά η εύρεση των δύο τετραγώνων είναι δυσκολότερη . Πάντως
την γραφή του
είχα κατά νου . Re: Μόνο με τέχνασμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 03, 2025 7:36 pm
Μπορούμε να βελτιώσουμε ουσιωδώς το αποτέλεσμα, για την αρχική, την
, και να δούμε τι πραγματικά τρέχει. Συγεκριμένα θα δούμε ότι το αριστερό μέλος έχει ελάχιστη τιμή
![13-9\sqrt[3] {3} >0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/635e861c0b561998931d7603edfec727.png "13-9\sqrt[3] {3} >0")
(που είναι πολύ κοντά στο 
, και μάλιστα 
). Πάντως δεν μηδενίζεται ποτέ. Αποδείξεις: Για
είναι 
, που απέχει πολύ από το παραπάνω. Για
από ΑΜ-ΓΜ είναι ![x^4-12x+13= (x^4+ 3\sqrt[3] {3} + 3\sqrt[3] {3} + 3\sqrt[3] {3} )-12x+ 13-9\sqrt[3] {3} \ge](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e87b7125be7d8f2c9f39c9c7e9fac7d9.png "x^4-12x+13= (x^4+ 3\sqrt[3] {3} + 3\sqrt[3] {3} + 3\sqrt[3] {3} )-12x+ 13-9\sqrt[3] {3} \ge")
![\ge 4 \sqrt[4] {x^4\cdot 3\sqrt[3] {3}\cdot 3\sqrt[3] {3}\cdot 3\sqrt[3] {3}} -12x+ 13-9\sqrt[3] {3} = 4 \sqrt[4] {x^4\cdot 3^4} -12x+ 13-9\sqrt[3] {3} =](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a0af46902c16b5a6be94daf03a5866c3.png "\ge 4 \sqrt[4] {x^4\cdot 3\sqrt[3] {3}\cdot 3\sqrt[3] {3}\cdot 3\sqrt[3] {3}} -12x+ 13-9\sqrt[3] {3} = 4 \sqrt[4] {x^4\cdot 3^4} -12x+ 13-9\sqrt[3] {3} =")
![=12x-12x+ 13-9\sqrt[3] {3}= 13-9\sqrt[3] {3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/71c8d388c1e5128c6dcd261947ce614a.png "=12x-12x+ 13-9\sqrt[3] {3}= 13-9\sqrt[3] {3}")
που δείχνει τον ισχυρισμό. Έχουμε ισότητα όταν ![x^4= 3\sqrt[3] {3} = \sqrt[3] {3^4}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d0fdae09ade7dfd810cc9da57602a45a.png "x^4= 3\sqrt[3] {3} = \sqrt[3] {3^4}")
, δηλαδή ![x=\sqrt[3] {3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a4944d1d0a91a83c09fdade90d885333.png "x=\sqrt[3] {3}")
Μένει να δείξουμε ότι
![13-9\sqrt[3] {3}>0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/451bd7790c7ae40837d10efd7557b770.png "13-9\sqrt[3] {3}>0")
, ισοδύναμα ![13>9\sqrt[3] {3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/da64d05849089e0ab105b46e8ecfb6e6.png "13>9\sqrt[3] {3}")
. Πράγματι η ύψωση στον κύβο δίνει την αληθή 
. Συμπέρασμα. Η
δεν έχει πραγματικές ρίζες. Έχει ελάχιστη τιμή γνήσια θετική αλλά σχεδόν μηδέν. Δεν έχει μεν ρίζα, αλλά η είναι πολύ κοντά στο να είναι ρίζα.