mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2026 9:34 am**

: Αντιπαραβολή.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=kx^2-(k+1)x-(2k+1)

. Δείξτε ότι

η γραφική της παράσταση διέρχεται για κάθε $k\in\mathbb{R}$ από δύο σταθερά σημεία .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2026 11:06 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2026 9:34 am
Αντιπαραβολή.pngΔίνεται η συνάρτηση : . Δείξτε ότι

η γραφική της παράσταση διέρχεται για κάθε $k\in\mathbb{R}$ από δύο σταθερά σημεία .

.
Πρώτα ανακαλύπτουμε τα σημεία θέτοντας δύο τιμές του

και βλέπουμε πού τέμνονται οι συγκεκριμένες δύο καμπύλες: Για k=1

και μετά

οι καμπύλες είναι οι y=x^2-2x-3

και

. Αυτές τέμνονται στα

$\boxed {(-1,0), (2,-3)}$ (άμεσο).

Ελέγχουμε τώρα αν αληθεύει το ζητούμενο. Πράγματι, είναι

f(-1)=k(-1)^2-(k+1)(-1)-(2k+1) =0

και

. 'Ολα καλά.

Πρόκειται για πολλή κοινή άσκηση, που βλέπω σχεδόν σε όλα τα βιβλία, με αλλαγή μόνο στα νούμερα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2026 1:36 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 27, 2026 9:34 am
Δίνεται η συνάρτηση : . Δείξτε ότι

η γραφική της παράσταση διέρχεται για κάθε $k\in\mathbb{R}$ από δύο σταθερά σημεία .

Καλημέρα...

Παραθέτω και μια άλλη ιδέα...

Η εξίσωση της παραβολής είναι:

$\displaystyle{y=kx^2-(k+1)x-(2k+1), k \in R \ \ (1) }$

Η (1) γράφεται κι αλλιώς:

$\displaystyle{k(x^2-x-2)+(-x-y-1)= 0, \ \ k \in R \ \ (2) }$

Η εξίσωση (2) είναι μια πρωτοβάθμια εξίσωση ως προς $\displaystyle{k}$ και η οποία

έχει απειρία λύσεων. Άρα:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} x^2-x-2=0 \\ -x-y-1=0 \end{matrix}\right \} \ \ (3) }$

Το σύστημα (3) έχει λύσεις τα ζεύγη:

$\displaystyle{(-1,0), \ \ (2,-3) \ \ (4) }$

τα οποία είναι και οι συντεταγμένες των σταθερών σημείων από τα οποία

διέρχεται το γράφημα της (1).

Αυτό φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα:

: Αντιπαραβολή 1.png (27.96 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές

Επειδή το πρόβλημα αυτό έχει κινητικότητα παραθέτω και το

αντίστοιχο δυναμικό αρχείο στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/gqfw2xvc

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Αντιπαραβολή

Αντιπαραβολή

Re: Αντιπαραβολή

Re: Αντιπαραβολή