mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 11, 2012 10:28 pm**

Αν και θα μπορούσε να δοθεί μόνο το ερώτημα δ)(Bundeswettbewerb-mathematik , Deutschland -2012), τη δίνω σε βήματα για να είναι προσιτή στο μέσο μαθητή.

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται τετράγωνο ABCD

και εκτός αυτού το ισόπλευρο τρίγωνο CDE

με ορθόκεντρο

.Οι ευθείες AC,BE

τέμνονται στο σημείο

.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου CBE

β)Να υπολογίσετε τη γωνία CKE

γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο CEDK

είναι εγγράψιμο.
δ)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο MCK

είναι ισοσκελές.

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 11, 2012 11:04 pm**

Μία διαπραγμάτευση που στοχεύη κατ' ευθείαν στο (δ) ερώτημα, παρ' όλο που το κτίσιμο που προτείνει ο Μπάμπης είναι διδακτικό και πρέπει να γίνει.

Έστω ότι ο κύκλος (DEC)

τέμνει την διαγώνιο

στο σημείο

Τότε έχουμε:
$\begin{array}{*{20}c} {\angle DLE = \angle ELC = \frac{\pi } {3}\;\kappa \alpha \dot \iota \;\lambda \dot o\gamma \omega \;\tau \varepsilon \tau \rho \alpha \gamma \dot \omega \nu o\upsilon ,} \\ {} \\ {\vartriangle DLC = \vartriangle BLC \Rightarrow \angle BLC = \frac{{2\pi }} {3} \Rightarrow L \in BE \Rightarrow L \equiv K.} \\ \end{array}$
Άρα αν

το κέντρο του κύκλου που είναι και ορθόκεντρο του ισόπλευρου τριγώνου μας, ML=MC

, δηλαδή

(*) Απλά σήμερα Τρίτη απελευθέρωσα την διαπραγμάτευση μου, που στοχεύει άμεσα στο (δ) ερώτημα, μετά από τρείς μέρες σε hide.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 30, 2013 6:01 pm**

Μια λύση(συνεχίζω κύριε Παρμενίδη ακόμη αν είναι εύκολα-αυτή βέβαια είναι ωραία άσκηση).

: Γεωμετρια mathematica_14.PNG (17.15 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

.

α) $\displaystyle{\hat{BCE}=90+60=150^{\circ}}$ και το τρίγωνο είναι ισοσκελές άρα $\displaystyle{\hat{EBC}=\hat{CEB}=15^{\circ}}$ .

b) $\displaystyle{\hat{ECK}=60+45=105^{\circ} \Leftrightarrow \hat{CKE}=60^{\circ}}$ .

c) $\displaystyle{\hat{DEK}=60-15=45^{\circ}=\hat{DCK}}$ .

Δεν προλαβαίνω πρέπει να φύγω τώρα.Αν δεν το προλάβει κανείς άλλος το γράφω αργότερα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2013 12:18 pm**

Για να σβηστεί και αυτή από τις αναπάντητες:

δ) Επειδή

ορθόκεντρο του τριγώνου CDE

, το οποίο είναι ισοσκελές, είναι και περίκεντρο του ίδιου τριγώνου.

Επειδή το τετράπλευρο CEDK

είναι εγγράψιμο, το

είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου με κέντρο

.

Άρα

γιατί είναι και τα δύο τμήματα ίσα με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

mathematica.gr

Τετράγωνο και ισότητα τμημάτων

Τετράγωνο και ισότητα τμημάτων

Re: Τετράγωνο και ισότητα τμημάτων

Re: Τετράγωνο και ισότητα τμημάτων

Re: Τετράγωνο και ισότητα τμημάτων