mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 02, 2015 10:38 pm**

Nα λυθεί η εξίσωση :
$\displaystyle{x + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt x } } = 2\,,\,x \in R}$
Ν.Ζ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 02, 2015 11:24 pm**

Με $\displaystyle{x=4\cos ^24a, ~a\in \Big(0,\frac{\pi}{8}\Big)}$ έχουμε

$\displaystyle{x+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=4\cos ^24a+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 4a}}=4\cos ^24a+\sqrt{2+2\cos 2a}=4\cos ^24a+2\cos a}$

οπότε η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle{4\cos ^24a+2\cos a=2 \iff 2\cos ^24a=2\sin ^2\frac{a}{2}\iff \cos 4a=\sin \frac{a}{2}\iff 4a=\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}\iff a=\frac{\pi}{9}.}$

Άρα

$\displaystyle{x=4\cos ^2\frac{4\pi}{9}.}$

mathematica.gr

ΕΞΙΣΩΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΗ