mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 29, 2023 6:32 pm**

Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^4+4x^2+1}{x^4+x^2+1}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 29, 2023 7:07 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2023 6:32 pm
Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^4+4x^2+1}{x^4+x^2+1}$

Έστω $\displaystyle y = f(x).$ Τότε, $\displaystyle (y - 1){x^4} + (y - 4){x^2} + y - 1 = 0$

$\displaystyle \bullet$ Αν y=1

τότε

$\displaystyle \bullet$ Αν $y\ne 1,$ τότε για να έχει λύση η διτετράγωνη, ως προς

εξίσωση θα πρέπει $\Delta\ge 0$

$\displaystyle {(y - 4)^2} - 4{(y - 1)^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 3(y - 2)(y + 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant y \leqslant 2$

Αλλά, $\displaystyle {x^4} + 4{x^2} + 1 \geqslant {x^4} + {x^2} + 1 \Leftrightarrow f(x) \geqslant 1$

Άρα το σύνολο τιμών είναι το διάστημα [1,2]

με

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 30, 2023 9:35 am**

Αλλιώς (ανορθόδοξα).

$\displaystyle {({x^2} - 1)^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow 3{x^2} \leqslant {x^4} + {x^2} + 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 0 \leqslant \frac{{3{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 \leqslant 1 + \frac{{3{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} \leqslant 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{1\le f(x)\le 2}$

mathematica.gr

Έντιμη συνάρτηση

Έντιμη συνάρτηση

Re: Έντιμη συνάρτηση

Re: Έντιμη συνάρτηση