mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2024 11:07 am**

Να λυθεί ( προσεκτικά ) η εξίσωση : $2x^2-1=x+\sqrt{1-x^2}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2024 11:38 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2024 11:07 am
Να λυθεί ( προσεκτικά ) η εξίσωση : $2x^2-1=x+\sqrt{1-x^2}$

$\displaystyle 2{x^2} - x - 1 = \sqrt {1 - {x^2}} \geqslant 0$

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: $\displaystyle 1 - {x^2} \geqslant 0,2{x^2} - x - 1 \geqslant 0 \Rightarrow$ $\boxed{x = 1}$ ή $\boxed{ - 1 \leqslant x \leqslant -\frac{1}{2}}$

Υψώνω στο τετράγωνο κι επειδή η τιμή x=1

είναι λύση της εξίσωσης καταλήγω στην

$\displaystyle (1 - x){(2x + 1)^2} = x + 1 \Leftrightarrow 4{x^3} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - 1} \right) = 0,$ με δεκτή ρίζα $\displaystyle x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι $\boxed{x=1}$ ή $\boxed{x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2024 2:25 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2024 11:07 am
Να λυθεί ( προσεκτικά ) η εξίσωση : $2x^2-1=x+\sqrt{1-x^2}$

Δεν κάνω κανένα περιορισμό . Έχω : ${\left( {2{x^2} - x - 1} \right)^2} = 1 - {x^2}$ ( όχι ισοδύναμη με την αρχική )

Τώρα εκτελώ τις πράξεις κι έχω , $x\left( {4{x^3} - 4{x^2} - 2x + 2} \right) = 0$ $\left( 1 \right)$ . Το πολυώνυμο της παρένθεσης έχει προφανή ρίζα την x = 1

.

Αν λάβω υπ όψη τα του γνωστού σχήματος : $x\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - 1} \right) = 0$

Η x = 0

δίδει το ένα μέλος της αρχικής

και το άλλο

προφανώς διαγράφεται .

Από τις ρίζες της, $2{x^2} - 1 = 0$ , η θετική κάνει το α μέλος

και το δεύτερο θετικό , αλλά η αρνητική επαληθεύει .

Έτσι τελικά , έχω : $\boxed{x = 1\,\,}$ ή $\boxed{x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 19, 2024 1:55 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2024 11:07 am
Να λυθεί ( προσεκτικά ) η εξίσωση : $2x^2-1=x+\sqrt{1-x^2}$

Έστω

ρίζα της εξίσωσης.Τότε

$2a^2-1=a+ \sqrt{1-a^2} \Rightarrow (a+\sqrt{1-a^2} )(a-\sqrt{1-a^2} )=a+\sqrt{1-a^2} \Rightarrow a+\sqrt{1-a^2}=0$ ή

$a-1-\sqrt{1-a^2}=0$ που λύνονται εύκολα

Από τις λύσεις αυτών κρατάμε τις $a=1, a=- \dfrac{1}{ \sqrt{2} }$ που επαληθεύουν την αρχική

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 19, 2024 10:06 am**

θετω $\displaystyle{x=cosu}$

εχουμε $\displaystyle{2x^2-x-1 =\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x=1,-1\le x \le-1/2}$

Tοτε $\displaystyle{cos2u-cosu=|sinu|}$ η $\displaystyle{2sin(3u/2)sin(-u/2)=2|sin(u/2)sin(pi/2-u/2)}$

1. Aν } sin(u/2)=0

\displaystyle{ τοτε $u/2=k\pi \RightArrow cosu=x=1}$ και ευκολα

2.απο την $\displaystyle{2sin(3u/2)=sin(pi/2-u/2) \RightArrow u=2m\pi/(3+(-1)^m)}$ που διασπάται σε

$\displaystyle{u=n\pi}$ kαι $\displaystyle{u=2n+1/pi }$ αρα $\displaystyle{x=\pm 1}$ δεκτες

3.Αν} sin(-3u/2)=sin(pi/2-u/2)

\displaystyle{ομοια
καταληγουμε σε } $u=-n\pi+\pi/2 , -4u/2=-n\pi+ pi/2$ \displaystyle{που δινει} x=0 , x=-1/

\sqrt{2}

mathematica.gr

Περιοριστικά μέτρα

Περιοριστικά μέτρα

Re: Περιοριστικά μέτρα

Re: Περιοριστικά μέτρα

Re: Περιοριστικά μέτρα

Re: Περιοριστικά μέτρα