mathematica.gr • Κοινή ρίζα κυβικών πολυώνυμων

Σελίδα 1 από 1

Κοινή ρίζα κυβικών πολυώνυμων

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 13, 2024 12:24 pm

από Al.Koutsouridis

Ο αριθμός $x_{0}$ αποτελεί κοινή ρίζα των πολυώνυμων $x^3+ax^2+bx+c \quad, x^3+bx^2+cx+a \quad , x^3+cx^2+ax+b$ . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $x_{0}$ , αν είναι γνωστό ότι a >b>c

a >b>c

.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας, 2024.

Re: Κοινή ρίζα κυβικών πολυώνυμων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 14, 2024 12:35 pm

από Ιάσων Κωνσταντόπουλος

ΑΝΑΓΚΑΙΟ

Έχουμε
x_o^3+ax_o^2+bx_o+c=0

x_o^3+ax_o^2+bx_o+c=0

(1)

x_o^3+bx_o^2+cx_o+a=0

(2)

x_o^3+cx_o^2+ax_o+b=0

(3)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1,2) λαμβάνουμε
(a-b)x_o^2+(b-c)x_o+(c-a)=0

(a-b)x_o^2+(b-c)x_o+(c-a)=0

(4)
Επειδή a>b

a>b

και

c<a

από την (4) έπεται πως $x_o\in\mathbb{R}$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2,3) λαμβάνουμε
(b-c)x_o^2+(c-a)x_o+(a-b)=0

(b-c)x_o^2+(c-a)x_o+(a-b)=0

(5)

Αντιμετωπίζοντας τις (4,5) σαν σύστημα $2\times 2$ ως προς x_o^2,x_o

x_o^2,x_o

έχουμε $\begin{vmatrix}{a-b&b-c\\b-c&c-a}\end{vmatrix}=-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca<0$
οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση (x_o^2,x_o)

(x_o^2,x_o)

την προφανή x_o^2=x_o=1

x_o^2=x_o=1

ΙΚΑΝΟ

Το x_o=1

x_o=1

είναι ρίζα του πολυωνύμου x^3+2x^2-x-2

x^3+2x^2-x-2

με

2>-1>-2

και των πολυωνύμων x^3-x^2-2x+2

x^3-x^2-2x+2

και

x^3-2x^2+2x-1

$\blacksquare$