mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 07, 2024 6:37 pm**

Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle 256^y = \frac{1}{y}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 07, 2024 7:00 pm**

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2024 6:37 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle 256^y = \frac{1}{y}$

Επειδή η αριστερή συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και η δεξιά είναι γνήσια φθίνουσα, σημαίνει ότι οι δύο τους τέμνονται το πολύ μία φορά, δηλαδή έχουμε το πολύ μία ρίζα. Τώρα, η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle {4^{4y} = \dfrac{1}{y}$ , ισοδύναμα $4^{4} =\left ( \dfrac{1}{y} \right ) ^{\frac{1}{y} }$ .

Παρατηρούμε ότι μία ρίζα είναι η $\dfrac{1}{y}=4$ ή αλλιώς $\boxed { y=\dfrac{1}{4} }$ . Από το προηγούμενο, η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 08, 2024 8:03 am**

Δείτε την λύση αυτή .

Ας σημειωθεί ότι το : $a^a=b^b \Rightarrow a=b$ , δεν είναι γενικά αληθές , π.χ η εξίσωση : $x^x=0.2^{0.2}$

πλην της προφανούς : x=0.2

, έχει και δεύτερη λύση : $(x\simeq 0.566 )$

Ένας "γάτος " μαθητής της Γ' Λυκείου θα απαντούσε ως εξής : Προφανής λύση η $x=\dfrac{1}{4}$ , η οποία είναι

μοναδική , επειδή η αριστερή συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και η δεξιά είναι γνήσια φθίνουσα .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 08, 2024 8:49 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 08, 2024 8:03 am
Ένας "γάτος " μαθητής της Γ' Λυκείου θα απαντούσε ως εξής : Προφανής λύση η $x=\dfrac{1}{4}$ , η οποία είναι

μοναδική , επειδή η αριστερή συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και η δεξιά είναι γνήσια φθίνουσα .

.
Θανάση, σωστά, και αν προσέξεις αυτήν ακριβώς την λύση έγραψα.
.

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 08, 2024 8:03 am
Δείτε την λύση αυτή .

Ας σημειωθεί ότι το : $a^a=b^b \Rightarrow a=b$ , δεν είναι γενικά αληθές , π.χ η εξίσωση : $x^x=0.2^{0.2}$

πλην της προφανούς : , έχει και δεύτερη λύση : $(x\simeq 0.566 )$

.
Ναι, η λύση στο youtube είναι προβληματική. Πήγα στο εν λόγω site και έγραψα ένα σχόλιο. Ελπίζω ο κατασκευαστής του να διορθώσει την λύση του για να μην μαθαίνουν οι μαθητές το στραβό.

Αν θέλεις ένα καλύτερο παράδειγμα από το $x^x=0.2^{0.2}$ για χ=0,566...

είναι βάση της

$\displaystyle{ \left ( \dfrac {1}{4} \right ) ^{\frac {1}{4} }= \left ( \dfrac {1}{2} \right ) ^{\frac {1}{2} }}$ (και τα δύο μέλη είναι ίσα με $\dfrac {1}{\sqrt 2}$ ή, αλλιώς, η ισότητα αυτή ισοδυναμεί με την αληθή 4^2=2^4

αφού και τα δύο μέλη είναι ίσα με

)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 08, 2024 9:20 am**

Μιχάλη , τα έντονα γράμματα είναι ακριβώς αντιγραφή και επικόλληση από το δικό σου κείμενο . Απλά επισημαίνω

την "νομιμότητα" της έκφρασης "προφανής λύση" , που νομίζω είναι μια χαρά , παρότι κάποιοι ενδέχεται να διαφωνούν ...

mathematica.gr

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση