mathematica.gr

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με . Αν η διάμεσος ΓΔ είναι κάθετη στην πλευρά βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ.

ας κάνω την αρχή

φέρω ύψος ΑΖ
Δ-μέσο ΑΒ,ΓΔ//ΑΖ=> Γ-μέσο ΒΖ=>ΓΖ=8
στο ορθογώνιο ΑΓΖ, γων.ΓΑΖ=30=>ΑΓ=16
με νόμο συνημιτόνων στο ΑΒΓ βρίσκουμε
με Π.Θ στο ΑΒΖ=>

Φέρουμε ΑΕ κάθετη στην ΒΓ και το τρίγωνο ΑΕΒ ειναι ορθογώνιο.ΔΕ = ΔΒ ως διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου. Οπότε το τρίγωνο ΒΔΕ ισοσκελές και προφανώς ΔΓ ύψος και διάμεσος, άρα ΕΓ =ΒΓ = 8. Το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ορθογώνιο και η γωνία ΑΓΕ 60 μοίρες ως παραπληρωματικής της δοθείσας Γ = 120 μοιρών. Άρα η γωνία ΓΑΕ 30 μοίρες και το ΓΑ = 2*ΓΕ = 16.
Από Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι η ΑΕ =8* ριζα(3). ¨Ομως ΑΕ ύψος του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ οπότε το εμβαδόν του είναι 32*ρίζα(3). Το ΔΓ είναι διάμεσος του ΑΒΓ , άρα το εμβαδόν του ΒΓΔ είναι το μισό του αρχικού ΑΒΓ , δηλαδή είναι 16*ριζα(3).
Βλέπω με πρόλαβε η συνονόματη μου , αλλά επειδή το έγραψα και είναι διαφορετική λύση την καταθέτω.

θα μπορούσαμε να αποφύγουμε τις πράξεις
έχουμε ΓΖ=8,ΑΓ=16
με την εφαπτομένη της γων.ΓΑΖ βρίσκουμε το ΑΖ και στη συνέχεια το εμβαδόν του ΑΓΖ που είναι διπλάσιο του ζητούμενου

(ΑΓΔ)=(ΔΓΒ) διότι ΒΔ=ΔΑ και έχουν επιπλέον κοινό ύψος συνεπώς 2(ΑΓΔ)=2(ΔΓΒ) --- > 8 ∙χ=β ∙ χ ημ(ΔΓΒ) --- > β=16
Όμως

Για την ποικιλία των λύσεων, άλλη μία αντιμετώπιση:

Αν Ε είναι το συμμετρικό του Γ ως προς Δ και Μ το μέσο της ΑΓ, το τρίγωνο ΑΕΜ είναι ισόπλευρο πλευράς ΑΕ=ΒΓ=8 και έχει εμβαδόν ίσο με το ζητούμενο, καθώς και τα δύο έχουν το μισό εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΕΓ.

Ενδιαφέρουσα και διδακτική άσκηση για τη Β Λυκείου και νομίζω την έχουμε καλύψει από πολλές πλευρές.