Σχέση ακτινών
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 15, 2011 11:42 pm
Σε κάθε τρίγωνο να δείξετε ότι: 
, όπου 
είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου,
ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Στάθης Κούτρας
, όπου είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Στάθης Κούτρας
,
![\displaystyle{\rho_a+\rho_b+\rho_c-\rho=E\Big[\frac{1}{\tau -a}+\frac{1}{\tau-b}+\frac{1}{\tau-c}-\frac{1}{\tau}\Big]=\\ \frac{1}{E}\Big(\tau(\tau-b)(\tau-c)+\tau(\tau-a)(\tau-c)+\tau(\tau-a)(\tau-b)-(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)\Big)=}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ed70429df4d93f3e9339f4295c4c2032.png "\displaystyle{\rho_a+\rho_b+\rho_c-\rho=E\Big[\frac{1}{\tau -a}+\frac{1}{\tau-b}+\frac{1}{\tau-c}-\frac{1}{\tau}\Big]=\\ \frac{1}{E}\Big(\tau(\tau-b)(\tau-c)+\tau(\tau-a)(\tau-c)+\tau(\tau-a)(\tau-b)-(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)\Big)=}")
που έχει κορυφές τα παράκεντρα του τριγώνου (θυμηθείτε ότι οι διχοτόμοι εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνονται κάθετα και ότι ορθικό τρίγωνο ενός τριγώνου ονομάζεται το τρίγωνο που έχει κορυφές τα ίχνη των υψών του τριγώνου αυτού). Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ είναι ο κύκλος του Euler του τριγώνου 
και τα μέσα των 
(προσέξτε το Ι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου 
στο οποίο η ΝΜ’ είναι η διάμεσος (Ν είναι το μέσο της ΒΓ (άρα και της ΗΖ) θα ισχύει: 
