mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 05, 2011 9:04 pm**

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ με $\displaystyle{\alpha = 2\gamma }$ και $\displaystyle{\beta = \sqrt 7 \gamma }$ .

1. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\mu _\alpha = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2}}$

2. Να βρείτε το είδος της γωνίας Β.

3. Αν ΑΕ κάθετη στην ΒΓ να υπολογίσετε το τμήμα ΒΕ ως συνάρτηση του γ.

4. Να υπολογίσετε σε μοίρες το μέτρο της γωνίας Β.

5. Το εμβαδό του τριγώνου ΑΕΒ είναι ίσο με:
Α. $\displaystyle{\gamma ^2 }$
Β. $\displaystyle{3\gamma ^2 }$
Γ. $\displaystyle{\frac{{\gamma ^2 \sqrt 3 }}{8}}$
Δ. $\displaystyle{\frac{{\gamma ^2 }}{3} }$
Ε. τίποτα από τα προηγούμενα

6. Να υπολογίσετε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων ΑΕΒ και ΑΕΓ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 05, 2011 9:38 pm**

Σπύρο καλησπέρα

1) Από τον τύπο της διαμέσου έχουμε: $\displaystyle{ \mu _\alpha ^2 = \frac{{2\left( {\beta ^2 + \gamma ^2 } \right) - \alpha ^2 }} {4}\mathop \Rightarrow \limits^{\gamma = \frac{\alpha } {2},\beta = \sqrt 7 \gamma \Rightarrow \beta = \frac{\alpha } {2}\sqrt 7 } \mu _\alpha ^2 = \frac{{2\left( {\frac{{7\alpha ^2 }} {4} + \frac{{\alpha ^2 }} {4}} \right) - \alpha ^2 }} {4} \Rightarrow \ldots \mu _\alpha ^2 = \frac{{3\alpha ^2 }} {4} \Rightarrow \boxed{\mu _\alpha = \frac{{\alpha \sqrt 3 }} {2}} }$

2) Είναι $\displaystyle{ \beta ^2 = \left( {\sqrt 7 \gamma } \right)^2 = 7\gamma ^2 > 4\gamma ^2 + \gamma ^2 = \left( {2\alpha } \right)^2 + \gamma ^2 \Rightarrow \boxed{\hat {\rm B} > 90^0 } }$

3) Από τη γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήματος για την αμβλεία γωνία $\displaystyle{ \hat {\rm B} }$ θα έχουμε: $\displaystyle{ \beta ^2 = \alpha ^2 + \gamma ^2 + 2\alpha \cdot {\rm E}{\rm B}\mathop \Rightarrow \limits^{\beta = \sqrt 7 \gamma ,\alpha = 2\gamma } 7\gamma ^2 = 4\gamma ^2 + \gamma ^2 + 2 \cdot 2\gamma \cdot {\rm E}{\rm B} \Rightarrow \ldots \boxed{{\rm E}{\rm B} = \frac{\gamma } {2}} }$

4) Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle {\rm A}{\rm E}{\rm B}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm E}{\rm B} = \frac{\gamma } {2} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {2}} \widehat{{\rm E}{\rm B}{\rm A}} = 60^0 \Rightarrow \boxed{\hat {\rm B} = 120^0 } }$

5) Προφανώς είναι: $\displaystyle{ \left( {{\rm A}{\rm E}{\rm B}} \right) = \frac{1} {2}{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}{\rm E} \cdot \eta \mu 60^0 \mathop \Rightarrow \limits^{{\rm B}{\rm E} = \frac{\gamma } {2},{\rm A}{\rm B} = \gamma } \left( {{\rm A}{\rm E}{\rm B}} \right) = \frac{1} {2}\gamma \cdot \frac{\gamma } {2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }} {2} \Rightarrow \boxed{\left( {{\rm A}{\rm E}{\rm B}} \right) = \frac{{\gamma ^2 \sqrt 3 }} {8}} }$ (σωστή απάντηση το Γ)

6) Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν το ίδιο ύψος $\displaystyle{ {\rm A}{\rm E} }$ ισχύει: $\displaystyle{ \frac{{\left( {{\rm A}{\rm E}{\rm B}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm E}\Gamma } \right)}} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}} {{{\rm E}\Gamma }} = \frac{{\frac{\gamma } {2}}} {{\alpha + \frac{\gamma } {2}}}\mathop = \limits^{\alpha = 2\gamma } \frac{{\frac{\gamma } {2}}} {{2\gamma + \frac{\gamma } {2}}} \Rightarrow \ldots \boxed{\frac{{\left( {{\rm A}{\rm E}{\rm B}} \right)}} {{\left( {{\rm A}{\rm E}\Gamma } \right)}} = \frac{1} {5}} }$

Στάθης

mathematica.gr

Λίγο απ΄όλα

Λίγο απ΄όλα

Re: Λίγο απ΄όλα