mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 02, 2011 8:56 am**

Δίνεται τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta$ και ${\rm M}$ , ${\rm N}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα.

Αν οι μη παράλληλες πλευρές ${\rm A}\Delta$ και ${\rm B}\Gamma$ τέμνονται στο ${\rm O}$ , να δείξετε ότι $\left( {{\rm O}{\rm M}{\rm N}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 02, 2011 10:13 am**

Έστω

η διάμεσος του τραπεζίου , $a ,b ,\upsilon$ τα στοιχεία του , και OLK=x

το ύψος του τριγώνου

Από τα όμοια OAB , OEZ

, παίρνω : $\displaystyle\frac{x-\frac{\upsilon }{2}}{x}=\frac{b}{\frac{a+b}{2}}\Rightarrow x= \frac{\upsilon(a+b)}{2(a-b)}$

Συνεπώς : $\displaystyle(OMN)=\frac{1}{2}\frac{a-b}{2}\frac{\upsilon(a+b)}{2(a-b)}=\frac{1}{4}\frac{a+b}{2}\upsilon =\frac{1}{4}(ABCD)$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 02, 2011 6:58 pm**

hlkampel έγραψε:Δίνεται τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta$ και ${\rm M}$ , ${\rm N}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα.

Αν οι μη παράλληλες πλευρές ${\rm A}\Delta$ και ${\rm B}\Gamma$ τέμνονται στο ${\rm O}$ , να δείξετε ότι $\left( {{\rm O}{\rm M}{\rm N}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)$ .

Καλησπέρα,

Απλά θέλω να θυμίσω ότι το θέμα του Ηλία ισχύει και για κυρτό τετράπλευρο (όχι κατ' ανάγκη τραπέζιο) και έχει συζητηθεί εδώ: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=15925

Φιλικά
Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 08, 2020 1:49 pm**

hlkampel έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 02, 2011 8:56 am
Δίνεται τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta$ και ${\rm M}$ , ${\rm N}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα.

Αν οι μη παράλληλες πλευρές ${\rm A}\Delta$ και ${\rm B}\Gamma$ τέμνονται στο ${\rm O}$ , να δείξετε ότι $\left( {{\rm O}{\rm M}{\rm N}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)$ .

: ένα τέταρτο - εμβαδά.png (42.26 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

μέσα αντιστοίχως των AD, AC, CB, BA.

Προφανώς

&

.

(OMN)=(SMN)+(OSN)+(OSM)=(SMN)+(LSN)+(TSM)=(TSL)=

mathematica.gr

Ένα τέταρτο

Ένα τέταρτο

Re: Ένα τέταρτο

Re: Ένα τέταρτο

Re: Ένα τέταρτο