mathematica.gr • Δια του μέσου

Σελίδα 1 από 1

Δια του μέσου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 29, 2012 10:10 pm

από KARKAR

Τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

(O)

. Το ύψος

τέμνει τον περίκυκλο στο

.

Αν

το αντιδιαμετρικό του

,

το ορθόκεντρο του τργώνου , και ισχύει : HH'=B'C

HH'=B'C

,

δείξτε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα O,H,H'

O,H,H'

, διέρχεται και από το μέσο

της

Θα τα ξαναπούμε τον άλλο μήνα ...

Re: Δια του μέσου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 29, 2012 10:57 pm

από Grigoris K.

Καλησπέρα κ. Θανάση:

Φέρω $OM' \perp BC$ και ισχύει $\displaystyle{ OM' \parallel = \frac{B'C}{2}}$ .

Όμως είναι γνωστό ότι AH = 2OM'

AH = 2OM'

άρα είναι $\displaystyle{ AH = B'C = HH' \Rightarrow H }$ μέσον.

Άρα το

είναι απόστημα και ισχύει $\widehat{OHH'} = 90^o~(1)$ .

Το HB'CH'

HB'CH'

είναι παρ\μο άρα H',M,B'

H',M,B'

συνευθειακά και μάλιστα H'M = MB'

H'M = MB'

.

Από δύναμη σημείου έχουμε $\displaystyle{\displaystyle{ R^2 - OM^2 = MH' \cdot MB' \Rightarrow OB'^2 - OM^2 = MB'^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ OB'^2 = OM^2 + MB'^2 \Rightarrow \widehat{OMB'} = 90^o ~(2) }}$ .

Από (1),(2)

(1),(2)

προκύπτει ότι το τετράπλευρο HOMH'

HOMH'

είναι εγγράψιμο.

Re: Δια του μέσου

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 03, 2012 10:54 am

από p_gianno

AH=//2OP=//B'C=//HH'

Συνεπώς

OH'

διάμετρος του μικρού κύκλου και

το κέντρο αυτού και

σημείο επαφής των κύκλων.

Θεωρώντας το

ως κέντρο ομοιοθεσίας και λόγο 2:1

2:1

το

πηγαίνει στο

και το

στό

***

και ο μικρός κύκλος πηγαίνει στον μεγάλο .

Επειδή AB'//HC

AB'//HC

(λόγω του παρ/μμου AHCB'

AHCB'

) συμπεραίνουμε ότι

ομοιόθετο του

δηλαδή

AB'=2HM

ή

HC=2HM

οεδ

***
Είναι γνωστό ότι HD=DH'

HD=DH'