mathematica.gr

Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο . Από σημείο του μεγάλου κύκλου φέρω

τις εφαπτόμενες προς το μικρό , οι οποίες τέμνουν το μεγάλο κύκλο στα .

Δείξτε ότι το μέσο του , είναι το έγκεντρο του τριγώνου

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Απ' όσο ξέρω το πανέμορφο αυτό αποτέλεσμα απέδειξε πρώτος ο L. Bankoff στο άρθρο του "Mixtilinear Adventure", CRUX 9 (1983), pp. 2-7.

Σύμφωνα με τον Bankoff ο κύκλος είναι ο μικτοεγγεγραμμένος κύκλος του

και το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα σημεία επαφής αποτελεί το έκκεντρο του .

Παραθέτω και μία απόδειξη (της οποίας μόνο η αρχή είναι δικιά μου):


Η ομοιοθεσία με κέντρο στέλνει το στο μέσο του έστω . Ομοίως το είναι το μέσο του .

Έστω . Είναι προφανές ότι το αποτελεί το έκκεντρο του .

Σύμφωνα με το Θ. Pascal για το εγγεγραμμένο εξάγωνο τα είναι συνευθειακά.

Όμως το είναι ισοσκελές άρα το είναι το μέσο του , δηλαδή και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.