mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 31, 2012 8:45 am**

Σας προτείνω ένα απλό θέμα από το αρχείο του Θάνου. Πρόκειται για το θέμα 218.Θα φανεί απλό σε πολλούς , είναι ένα παλιό θέμα , μπορεί όμως να τεθεί ως πρόβλημα για το επόμενο μάθημα σε τμήμα της Β' Λυκείου. Αν έχει τεθεί στο παρελθόν , παρακαλώ να γίνει η σχετική παραπομπή.

Έστω τρίγωνο ABC

και

το κέντρο βάρους του. Αν

είναι το μέσο της πλευράς

και

της

,αποδείξτε ότι το τετράπλευρο AEGZ

είναι εγγράψιμο αν και μόνον αν $b^{2}+c^{2}=2a^{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 31, 2012 12:52 pm**

Ισχύουν :

$\begin{gathered} {b^2} + {c^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow 3{b^2} = 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} \Leftrightarrow \hfill \\ {b^2} = \frac{4}{3}\mu _c^2 \Leftrightarrow \frac{b}{2} \cdot b = \frac{2}{3}{\mu _c} \cdot {\mu _c} \Leftrightarrow CZ \cdot CA = CG \cdot CE \hfill \\ \end{gathered}$

Άρα το τετράπλευρο AEGZ

εγγράψιμο αν και μόνο αν

${b^2} + {c^2} = 2{a^2}$ .

Φιλικά Νίκος.

mathematica.gr

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 38

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 38

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 38