mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2013 10:41 am**

: Ισόπλευρο 2.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $\hat{B}=60^0$ , το

είναι το μέσο της

και το

το σημείο επαφής

της

με τον έγκυκλο του τριγώνου . Φέρω τμήμα

κάθετο προς τη διχοτόμο της $\hat{A}$ .

Δείξτε ότι το τρίγωνο SMD

είναι ισόπλευρο .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2013 12:40 pm**

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισόπλευρο 2.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $\hat{B}=60^0$ , το είναι το μέσο της και το το σημείο επαφής

της με τον έγκυκλο του τριγώνου . Φέρω τμήμα κάθετο προς τη διχοτόμο της $\hat{A}$ .

Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο .

: Isoplebro.png (24.71 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Έστω

τρίγωνο με $\widehat B = {60^0}$ .Αν

η προβολή του

στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat A$

και

το μέσο της

η διάμεσος

του ορθογωνίου τριγώνου SAC

θα ισούται

με το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή $SN = AN \Rightarrow \widehat {NSA} = \widehat {NAS}\,\,( = \widehat {SAB}) \Rightarrow BA//SN$

, άρα η

θα διέρχεται από και το μέσο

της πλευράς

. Προφανώς

$\widehat {SMD} = \widehat B = {60^0}$ . Είναι γνωστό ότι $\boxed{DM = \frac{{b - c}}{2}}$ . Από την άλλη μεριά

$SM + MN = SN = \dfrac{b}{2} \Rightarrow SM + \dfrac{c}{2} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \boxed{SM = \frac{{b - c}}{2}}$ συνεπώς το τρίγωνο MDS

είναι

ισόπλευρο.

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2013 12:57 pm**

Αν $\displaystyle{CS \cap AB = E}$ ,το $\displaystyle{\vartriangle EAC}$ είναι ισοσκελές αφού η διχοτόμος του $\displaystyle{AS}$ είναι και ύψος του κι έτσι $\displaystyle{S}$ είναι μέσον της $\displaystyle{CE}$ οπότε $\displaystyle{MS//AE \Rightarrow \angle ABC = \angle BMS = {60^0}}$
$\displaystyle{\angle A + \angle C = {120^0} \Rightarrow \frac{{\angle A}}{2} + \frac{{\angle C}}{2} = {60^0} \Rightarrow \angle SOC = {60^0}}$ κι επειδή $\displaystyle{ODSC}$ εγγράψιμο ( $\displaystyle{\angle ODC = \angle OSC = {90^0}}$ ) θα είναι και $\displaystyle{\angle CDS = {60^0}}$ .Άρα, $\displaystyle{\vartriangle DMS}$ ισόπλευρο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2013 1:45 pm**

Κρητική επίθεση , αφού η Εύοια μάλλον βρίσκεται ... στα τσίπουρα . Εβίβα!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2013 2:10 pm**

Ωραία η λύση σου Μιχάλη.

Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 02, 2013 9:50 am**

KARKAR έγραψε:Κρητική επίθεση , αφού η Εύοια μάλλον βρίσκεται ... στα τσίπουρα . Εβίβα!

Από αριστερά... Κώστας Βήττας - Δημήτρης Ιωάννου - Στάθης Κούτρας

mathematica.gr

Ισόπλευρο 2

Ισόπλευρο 2

Re: Ισόπλευρο 2

Re: Ισόπλευρο 2

Re: Ισόπλευρο 2

Re: Ισόπλευρο 2

Re: Ισόπλευρο 2