mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 26, 2013 1:26 pm**

: Ισότητα γωνιών.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχουμε σχεδιάσει την εσωτερική διχοτόμο

την εξωτερική ( διχοτόμο )

και τον περίκυκλο του τριγώνου , κέντρου

. Δείξτε ότι $\widehat{AEB}=\widehat{KAD}$

Ο σχεδιασμός του ημικυκλίου διαμέτρου

, ήταν ίσως χρήσιμος αλλά όχι απαραίτητος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 26, 2013 2:50 pm**

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα γωνιών.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχουμε σχεδιάσει την εσωτερική διχοτόμο την εξωτερική ( διχοτόμο ) ,

το ημικύκλιο διαμέτρου και τον περίκυκλο του τριγώνου , κέντρου . Δείξτε ότι $\widehat{AEB}=\widehat{KAD}$

: Ισότητα γωνιών.png (39.66 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Η

τέμνει τον ${k_2}$ στο μέσο του τόξου του

, λόγω διχοτόμου.

Ας πούμε

το αντιδιαμετρικό του

στον ${k_2}$ και

την προβολή του

στην

.

Είναι : $\widehat x = \widehat \omega$ ( παρά τη βάση ισοσκελούς)

$\widehat \omega = \widehat \phi$ ( κάθετες πλευρές) και

$\widehat \phi = \widehat y$ ( AH//BC

) , συνεπώς $\boxed{\widehat x = \widehat y}$

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 26, 2013 6:58 pm**

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα γωνιών.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχουμε σχεδιάσει την εσωτερική διχοτόμο την εξωτερική ( διχοτόμο )

και τον περίκυκλο του τριγώνου , κέντρου . Δείξτε ότι $\widehat{AEB}=\widehat{KAD}$

Ο σχεδιασμός του ημικυκλίου διαμέτρου , ήταν ίσως χρήσιμος αλλά όχι απαραίτητος

Κάτι ακόμα

: Ισότητα γωνιών_new.png (33.97 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

Επειδή η διάμετρος του ημικυκλίου διαιρείται αρμονικά από τον κύκλο ${k_1}$ , οι δύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι και η $KA\,\,$ εφάπτεται του ημικυκλίου .
Αν φέρουμε την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

και κόψει την ευθεία

στο

, θα είναι $\widehat \sigma = \widehat \tau$ και αφού $\widehat \sigma = \widehat y$ ( από χορδή κι εφαπτομένη ) το ζητούμενο έπεται.
Και δεν χρειάζεται να φέρω άλλη εφαπτομένη , αλλα ... ας τ αφήσω καλλύτερα
Φιλικά Νίκος

Μάλλον δεν την είδε ό Στάθης γιατί τέτοιες λύσεις είναι στο (Μαθηματικό) DNA του!!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 26, 2013 7:23 pm**

: Ισότητα γωνιών.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Από τη στιγμή που "ανακαλύψαμε" την ορθογωνιότητα των κύκλων , η άσκηση τελειώνει με την παρατήρηση

της ισότητας των $\hat{A_{1}}, \hat{A_{2}},$ ( συμπηρωματικές της ίδιας γωνίας ) και της $\hat{A_{1}}$ με την $\hat{E}$ ( προφανές ! ) , ή

ακόμη συντομότερα με γωνία χορδής - εφαπτομένης !

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 27, 2013 10:33 pm**

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα γωνιών.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχουμε σχεδιάσει την εσωτερική διχοτόμο την εξωτερική ( διχοτόμο )

και τον περίκυκλο του τριγώνου , κέντρου . Δείξτε ότι $\widehat{AEB}=\widehat{KAD}$

Ο σχεδιασμός του ημικυκλίου διαμέτρου , ήταν ίσως χρήσιμος αλλά όχι απαραίτητος

: draw1.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

..καλησπέρα..

Επειδή $\hat{ADE}$ εξωτερική γωνία στο $\bigtriangleup ADC\Rightarrow$ \displaystyle{\hat{ADE}=\hat{DCA}+\hat{CAD}\,\,\,\,(1) .

Όμως

\displaystyle\hat{BCA}=\frac{\hat{BKA}}{2}\,\,\,\,(2) (εγγεγραμένη - επίκεντρη), και

\bigtriangleup AKB:(AK=KB)} $\Rightarrow \hat{AKB}=180^{\circ} -2\hat{KAB}=180^{\circ} -2(\hat{KAD}+\hat{DAB})\,\,\,\,(3)$

Από τις σχέσεις (1).(2),(3) έχουμε: $\hat{BDA}=90^{\circ} -\hat{DAK}\,\,\,\,(a)$

Επειδή $AE\perp AD$ (εσωτερική-εξωτερική διχοτόμος γωνίας) μας δίδει: $\bigtriangleup AED:\hat{EAD}=90^{\circ} \Rightarrow \hat{ADE}+\hat{AED}=90^{\circ} \Rightarrow \hat{ADE}=90^{\circ} -\hat{AED}\,\,\,\,(b)$

Από (a), (b) έχουμε: $\boxed{\hat{DAK}=\hat{AED}}$

mathematica.gr

Ισότητα γωνιών

Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών