mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 24, 2014 7:35 am**

: x146.jpg (47.58 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου $ABC\,({100^ \circ }{,40^ \circ }{,40^ \circ })$ έχουμε πάρει σημείο

, τέτοιο ώστε $D\widehat CB = 2D\widehat BC = {10^ \circ }$ . Να βρείτε τη γωνία $x = D\widehat AC$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 24, 2014 1:23 pm**

Γεια σου Μιχάλη.

Με Ceva έχουμε

$\dfrac{\sin 35}{\sin 5} \cdot\dfrac{\sin 10}{\sin 30}\cdot\dfrac{\sin x}{\sin (100-x)}=1\Rightarrow \dfrac{\sin (100-x)}{\sin x}=\dfrac{\sin 35\cdot \sin 10}{\sin 30\cdot \sin 5}\Rightarrow$

$\dfrac{\sin (100-x)}{\sin x}=4\sin 35\cdot \cos 5=\dfrac{2(\cos 10-\cos 60)\cos 5}{\sin 25}=\dfrac{2\cos 10\cos 5-\cos 5}{\sin 25}\Rightarrow$

$\dfrac{\sin (100-x)}{\sin x}=\dfrac{\cos 15}{\sin 25}=\dfrac{\sin 75}{\sin 25}\Rightarrow x=25^o$ μοναδική.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 24, 2014 3:06 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου $ABC\,({100^ \circ }{,40^ \circ }{,40^ \circ })$ έχουμε πάρει σημείο , τέτοιο ώστε $D\widehat CB = 2D\widehat BC = {10^ \circ }$ . Να βρείτε τη γωνία $x = D\widehat AC$ .

Για την καλησπέρα μου στους αξιαγάπητους φίλους Μιχάλη και Φωτεινή με μια γεωμετρική προσέγγιση

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω $\displaystyle{Z \equiv AE \cap CD}$ , με $\displaystyle{AE}$ το ύψος (άρα και τη διχοτόμο και τη μεσοκάθετη του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$

Με $\displaystyle{Z}$ σημείο της μεσοκαθέτου του $\displaystyle{BC \Rightarrow \vartriangle ZBC}$ ισοσκελές οπότε: $\displaystyle{\angle CBZ = \angle BCZ = {10^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle CBD = {5^0}} BD}$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle B}$ του τριγώνου

$\displaystyle{\vartriangle ZBC\mathop \Rightarrow \limits^{\Theta .\Delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon } \frac{{\left( {ZD} \right)}}{{\left( {DC} \right)}} = \frac{{\left( {BZ} \right)}}{{\left( {BC} \right)}}}$ $\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {BZ} \right) = \left( {ZC} \right),\left( {BC} \right) = 2\left( {EC} \right)} }$ $\displaystyle{\boxed{\frac{{\left( {ZD} \right)}}{{\left( {DC} \right)}} = \frac{{\left( {ZC} \right)}}{{2\left( {CE} \right)}}}:\left( 1 \right)}$ .
[attachment=0]1.png[/attachment]
$\displaystyle{ \bullet }$ Είναι $\displaystyle{\left( {AZC} \right) = \frac{1}{2}\left( {AZ} \right) \cdot \left( {CE} \right) = }$ $\displaystyle{\frac{1}{2}\left( {ZC} \right) \cdot \left( {AC} \right)\eta \mu {30^0} \Rightarrow }$ $\displaystyle{\left( {AZ} \right) \cdot \left( {CE} \right) = \frac{{\left( {ZC} \right) \cdot \left( {AC} \right)}}{2} \Rightarrow }$ $\displaystyle{\frac{{\left( {AZ} \right)}}{{\left( {AC} \right)}} = \frac{{\left( {ZC} \right)}}{{2\left( {CE} \right)}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} }$

$\displaystyle{\frac{{\left( {ZD} \right)}}{{\left( {DC} \right)}} = \frac{{\left( {AZ} \right)}}{{\left( {AC} \right)}}\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\,\Theta .\Delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle AZC} AD}$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle ZAC \Rightarrow }$

$\displaystyle{x = \frac{{\angle ZAC}}{2}\mathop = \limits^{AE\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle BAC} }$ $\displaystyle{\frac{{\dfrac{{\angle BAC}}{2}}}{2} = \frac{{\angle BAC}}{4}}$ $\displaystyle{ = \frac{{{{100}^0}}}{4} \Rightarrow \boxed{x = {{25}^0}}}$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί.

Στάθης