Σκιαγραφω μια μη γεωμετρικη λυση ως εξης. Εστω ΑΒΓ ενα τετοιο τριγωνο, και Δ, Ε, Ζ οι προβολες υψους (απο Α), διχοτομου (απο Β), και διαμεσου (απο Γ), αντιστοιχα. Επειδη η ΒΕ ειναι διχοτομος, θετουμε ΖΒΕ = ΓΒΕ = β. Επισης (υπο)θετουμε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ = χ.
Απο το νομο των ημιτονων στο ΒΓΖ (πλευρες ΒΖ = ΑΒ/2 και ΓΖ = χ) προκυπτει ΑΒ = 2χημ(ΒΓΖ)/ημ2β, ενω απο το ορθογωνιο τριγωνο ΔΑΒ προκυπτει χ = ΑΔ = ΑΒημ2β. Συμπεραινουμε οτι χ = 2χημ(ΒΓΖ), αρα ΒΓΖ = 30 και, επιστρεφοντας στην πρωτη σχεση, ΑΒ = χ/ημ2β.
Επειδη ΒΓΖ = 30, ΒΖΓ = 150 - 2β και ημ(ΒΖΓ) = (συν2β + ρημ2β)/2, οπου ρ = τετραγωνικη ριζα του 3. Εφαρμοζοντας το νομο των ημιτονων στο ΒΓΖ (πλευρες ΒΓ και ΖΓ = χ) λαμβανουμε ΒΓ = (συν2β+ρημ2β)χ/2ημ2β.
Απο το νομο των συνημιτονων στα τριγωνα ΓΒΕ και ΑΒΕ προκυπτουν οι σχεσεις (ΓΕ)^2 = (ΒΓ)^2 + χ^2 - 2ΒΓχσυνβ και (ΑΕ)^2 = (ΑΒ)^2 + χ^2 - 2ΑΒχσυνβ, αντιστοιχα. Επειδη η ΒΕ ειναι διχοτομος, (ΓΕ)^2/(ΑΕ)^2 = (ΒΓ)^2/(ΑΒ)^2. Συμπεραινουμε οτι [(ΒΓ)^2 + χ^2 - 2ΒΓχσυνβ]/[(ΑΒ)^2 + χ^2 - 2ΑΒχσυνβ] = (ΒΓ)^2/(ΑΒ)^2. Μετα απο πραξεις εχουμε [(ΒΓ)^2 - (ΑΒ)^2]χ = 2(ΒΓ)(ΑΒ)[(ΒΓ) - (ΑΒ)]συνβ και, υποθετοντας ΒΓ ανιση προς ΑΒ, καταληγουμε στην σχεση συνβ = [(ΑΒ) + (ΒΓ)]χ/(2(ΑΒ)(ΒΓ).
[Σημειωση: αν ΒΓ = ΑΒ η συνεχεια ειναι αρκετα ευκολη, καθως αμφοτερες οι ΒΕ και ΓΖ ειναι πλεον διαμεσοι τεμνομενες στο Η με ΒΗ = ΓΗ = 2χ/3 και ΒΓΗ = 30, αρα ΓΒΕ = 30 και ΓΒΑ = 60.]
Αντικαθιστωντας τωρα τις ΑΒ = χ/ημ2β και ΒΓ = (συν2β+ρημ2β)χ/2ημ2β στην συνβ = [(ΑΒ) + (ΒΓ)]χ/(2(ΑΒ)(ΒΓ) καταληγουμε στην συνβ = [(2 + συν2β + ρημ2β)(ημ2β)]/[2(συν2β + ρημ2β)] και, μετα απο καποιες πραξεις, στην
2ημβ/(συν2β + ρημ2β) = 1 - ημβ και, τελικα, συνβ = [-1 + 3ημβ + 2(ημβ)^2 - 2(ημβ)^3]/[2ρημβ(1 - ημβ)], οπου ρ ειναι παντοτε η τετραγωνικη ριζα του 3.
Η ανωτερω τριγωνομετρικη εξισωση αληθευει βεβαια για β = 30 = π/6 (ισοπλευρο τριγωνο). Μπορει να αληθευει για αλλες τιμες του β μεταξυ 0 και π/2? Ενας τροπος για να δουμε οτι η απαντηση ειναι αρνητικη ειναι να παρατηρησουμε οτι η μεν αριστερη πλευρα, συνβ, ειναι φθινουσα στο (0, π/2), η δε δεξια πλευρα ειναι αυξουσα στο ιδιο διαστημα -- ως συνθεση της αυξουσας συναρτησης ψ = ημβ και της αυξουσας συναρτησης [-1 + 3ψ + 2(ψ^2) - 2(ψ^3)]/[2ρ(ψ - ψ^2)]. Αλλα μια αυξουσα και μια φθινουσα συναρτηση μπορουν να εχουν ενα το πολυ σημειο τομης!
[Το οτι η φ(ψ) = [-1 + 3ψ + 2(ψ^2) - 2(ψ^3)]/[2ρψ(1 - ψ)] ειναι αυξουσα στο (0, 1) προκυπτει απο την παρατηρηση οτι η παραγωγος φ'(ψ) = [1 - 2ψ + 5(ψ^2) - 4(ψ^3) + 2(ψ^4)]/[2ρ(ψ - ψ^2)^2] εχει θετικο αριθμητη
1 - 2ψ + 5(ψ^2) - 4(ψ^3) + 2(ψ^4) = (1 - ψ)^2 + 4(ψ^2)(1 - ψ) + 2(ψ^4) για ψ στο (0, 1).]
... Συγγνωμην για την μη γεωμετρικη λυση και την μη χρηση του ΤΕΧ
Γιωργος Μπαλογλου -- Θεσσαλονικη -- gbaloglou(AT)gmail(DOT)com
το οποίο να μην είναι ισόπλευρο;