mathematica.gr • Εμβαδό τριγώνου

Σελίδα 1 από 1

Εμβαδό τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 03, 2016 5:21 pm

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Εστω

ABC

τρίγωνο και

το ύψος του.

Από το

φέρουμε τις προβολές K,L

K,L

στις

AB,AC

Αν

είναι η ακτίνα του περιγεγραμένου στο τρίγωνο κύκλου

να αποδειχθεί ότι (ABC)=KL.R

(ABC)=KL.R

Re: Εμβαδό τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 03, 2016 11:16 pm

από big-pitsirikos

Είναι από Ν.Ημιτόνων στο $\triangle KHL$ ,

$\dfrac{KL}{\sin \widehat{KHL}}=\dfrac{KH}{\sin \widehat{KLH}} \Leftrightarrow KL=\dfrac{KH \sin \hat{A}}{\cos \hat{B}}$ (*).

Ακόμη, $\sin \widehat{HAK}=\dfrac{KH}{AH} \Leftrightarrow KH=AH \cos \hat{B}$ (**).

Έτσι, από (*), (**) παίρνουμε $KL=AH \sin \hat{A}=\dfrac{2E}{a} \dfrac{a}{2R}=\dfrac{E}{R} \Leftrightarrow \boxed{KL \cdot R=E}$

Re: Εμβαδό τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 04, 2016 10:34 am

από george visvikis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω τρίγωνο και το ύψος του.

Από το φέρουμε τις προβολές στις

Αν είναι η ακτίνα του περιγεγραμένου στο τρίγωνο κύκλου

να αποδειχθεί ότι

Καλημέρα!

: Εμβαδό τριγώνου.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 1339 φορές

Έστω

το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά

και

η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου που τέμνει την

στο

. Είναι γνωστό ότι η διάμετρος από το

είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα ίχνη των υψών που άγονται

από τις κορυφές B, C

B, C

(Θεώρημα

Nagel

). Επειδή όμως αυτό το τμήμα είναι παράλληλο με την

, θα είναι $\displaystyle{AE \bot KL}$ και

λόγω ομοιότητας των τριγώνων ABC, ALK

ABC, ALK

έχουμε $\boxed{\frac{{KL}}{a} = \frac{{AE}}{h}}$ (1)

(1)

Είναι όμως $\displaystyle{{h^2} = AL \cdot b = AE \cdot 2R \Leftrightarrow \frac{{AE}}{h} = \frac{h}{{2R}}}$ και λόγω της (1)

(1)

: $\displaystyle{ah = 2R \cdot KL}$ και το ζητούμενο έπεται.

Re: Εμβαδό τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 04, 2016 12:02 pm

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Γιώργο σε ευχαριστώ που με απάλλαξες από τον κόπο να γράψω την λύση μου.
Είναι ίδια με την δική σου.