mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 21, 2016 8:36 pm**

: Εμβαδάκι.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου

και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

. Υπολογίστε το (CSB)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 21, 2016 9:09 pm**

KARKAR έγραψε:Εμβαδάκι.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το .

: Εμβαδάκι.png (23.44 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

Επειδή $(SBC) = (SOB) = (SAO) = 2{x^2}$ και ${a^2} = 20{x^2} \Rightarrow \boxed{(SBC) = \frac{{{a^2}}}{{10}}}$

Εντάξει , αντί

έβαλα

Φιλικά, Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 21, 2016 9:15 pm**

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το .

Θέτουμε $\angle SAB = \theta$ . Κάνω Τριγωνομετρική λύση για ποικιλία.

Είναι $\angle CAS = 90 - \theta$ . Επίσης CS=CA = AB =b

και αφού $AB \cos \theta = AS = 2 AC \cos (90 -\theta)$ έχουμε $2 \sin \theta = \cos \theta$ από όπου μπορούμε να βρούμε το $\theta$ ή καλύτερα $\sin \theta = \sqrt 5 /5, \cos \theta = 2\sqrt 5 /5$ .

Είναι

(CSB) = (CAS)+(ASB)-(ABC) =

$= \frac {1}{2} AC\cdot AS \sin (90-\theta) + \frac {1}{2} AS\cdot SB - \frac {1}{2} AS\cdot AB$

$= \frac {1}{2} b(b\cos \theta) \cos \theta + \frac {1}{2} b \cos \theta b \sin \theta - \frac {1}{2} b^2= \frac {1}{2} b^2 \sin \theta (\cos \theta - \sin \theta)= b^2/10$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 21, 2016 9:16 pm**

KARKAR έγραψε:Εμβαδάκι.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το .

: Εμβαδάκι.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

$\displaystyle{\cos \varphi = \frac{{SB}}{b}}$ και από νόμο συνημιτόνων στο ASC

βρίσκω

Από Π. Θ τώρα στο ASB

παίρνω $\displaystyle{SB = \frac{b}{{\sqrt 5 }}}$

$\displaystyle{(CSB) = \frac{1}{2}b\frac{b}{{\sqrt 5 }}\sin ({90^0} + \varphi ) = \frac{{{b^2}}}{{2\sqrt 5 }}\cos \varphi \Leftrightarrow }$ $\boxed{(CSB) = \frac{{{b^2}}}{{10}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 21, 2016 10:29 pm**

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το .

Καλησπέρα!

: Εμβαδάκι.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Έστω $CM \bot AS$ και $BD \bot CS$

Ισχύει $\triangleleft ASB = \triangleleft CMS$ , οπότε AS = 2SB

και $\triangleleft ASB \sim \triangleleft SDB$

Από Π.Θ. παίρνουμε $SB = \dfrac{{b\sqrt 5 }}{5},\,BD = \dfrac{b}{5}$ και $\left( {CSB} \right) = \dfrac{{CS \cdot BD}}{2} = \dfrac{{{b^2}}}{{10}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 21, 2016 11:14 pm**

KARKAR έγραψε:Εμβαδάκι.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το .

Καλησπέρα
$(CSB)=(ACTB)-(STB)-(ACB), (ACTB)=\dfrac{TB+b}{2}.b=\dfrac{b}{2}(b+\dfrac{b}{4})=\dfrac{5b^{2}}{8},(1), (ACB)=\dfrac{b^{2}}{2},(2), \hat{\omega }=\hat{SAB}=\hat{TSB}=\hat{TBS},OC=\dfrac{b\sqrt{5}}{2},JO=\dfrac{OS^{2}}{OC}=\dfrac{b\sqrt{5}}{10},sin\omega =\dfrac{\sqrt{5}}{5},cos\omega =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, (STB)=\frac{1}{2}x^{2}sin2\omega =\dfrac{b^{2}}{40},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow (CSB)=\dfrac{4b^{2}}{40}=\dfrac{b^{2}}{10}$

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 22, 2016 7:37 am**

: Εμβαδάκι β.png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές

Εύλογα πλέον αναφύεται το ερώτημα : Πόσο είναι το (SBC)

, αν $b \neq c$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 22, 2016 7:56 am**

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι : $\hat{A}=90^0 , AB=AC=b$ . Γράφω το ημικύκλιο

διαμέτρου και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το .

Καλημέρα! Μία με λύση στο σχήμα…

: Εμβαδάκι_2.png (29.24 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

$\left( {CSB} \right) = \left( {DEB} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x}{3} \cdot 3x = \dfrac{{{b^2}}}{{10}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 22, 2016 8:36 am**

KARKAR έγραψε:Εμβαδάκι β.pngΕύλογα πλέον αναφύεται το ερώτημα : Πόσο είναι το , αν $b \neq c$ ;

Καλημέρα...

Με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle ACO \Rightarrow {\text{ }}OC = \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2}}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {CSB} \right)}}{{\left( {OCB} \right)}} = \frac{{SB \cdot CB}}{{OC \cdot CB}} = \frac{{SB}}{{OC}} = 2\frac{{OD}}{{OC}}}$

Αλλά, $\displaystyle{A{O^2} = OD \cdot OC \Rightarrow \frac{{OD}}{{OC}} = {\left( {\frac{{AO}}{{OC}}} \right)^2}}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {CSB} \right)}}{{\left( {OCB} \right)}} = 2{\left( {\frac{{AO}}{{OC}}} \right)^2} \Rightarrow \left( {CSB} \right) = 2{\left( {\frac{{\frac{c}{2}}}{{\frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2}}}} \right)^2} \cdot \frac{{bc}}{4} \Rightarrow \boxed{\left( {CSB} \right) = \frac{{b{c^3}}}{{2\left( {4{b^2} + {c^2}} \right)}}}}$

Στην περίπτωση $\displaystyle{b = c \Rightarrow \left( {CSB} \right) = \frac{{{b^2}}}{{10}}}$

: embadaki.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 22, 2016 8:54 am**

KARKAR έγραψε:Εύλογα πλέον αναφύεται το ερώτημα : Πόσο είναι το , αν $b \neq c$ ;

Η λύση που έδωσα παραπάνω προσαρμόζεται πολύ εύκολα και στην γενικότερη περίπτωση. Η μόνη διαφορά είναι ότι τώρα έχουμε $2b\sin \theta = c \cos \theta$ και άρα (υψώνουμε στο τετράγωνο και λύνουμε) $\sin \theta = \dfrac {c}{\sqrt {4b^2+c^2}}, \, \cos \theta = \dfrac {2b}{\sqrt {4b^2+c^2}}$ . Και λοιπά.

Επίσης, δίνω άλλη μία λύση της αρχικής (με b=c

) και αμέσως μετά πώς θα την προσαρμόσουμε για την γενική περίπτωση:

Χάριν ποικιλίας το κάνω με Αναλυτική Γεωμετρία.

Με κέντρο αξόνων το

και

οι κύκλοι του σχήματος είναι $x^2-xb + y^2=0, \, x^2-2by +y^2=0$ . Λύνοντας (πρώτα αφαιρούμε) θα βρούμε $x= \dfrac {4b}{5}, \, y = \dfrac {2b}{5}$ .

Τέλος, θέλουμε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές $S \left (\dfrac {4b}{5}, \, \dfrac {2b}{5} \right ), B(b,0), C(0,b)$ που είναι άμεσο (π.χ. με μία ορίζουσα).

Στην γενική περίπτωση οι κύκλοι γίνονται $x^2-xc + y^2=0, \, x^2-2by +y^2=0$ . Λύνοντας θα βρούμε $x= \dfrac {4b^2c}{4b^2+c}, \, y = \dfrac {2bc^2}{4b^2+c}$ . Ξέρουμε λοιπόν τις συντεταγμένες των κορυφών του ζητούμενου τριγώνου, και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 22, 2016 9:17 am**

KARKAR έγραψε:Εύλογα πλέον αναφύεται το ερώτημα : Πόσο είναι το , αν $b \neq c$ ;

: Εμβαδάκι_3.png (24.54 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Έστω $CD \bot BS = x$

Από $\triangleleft ABS \sim \triangleleft SCD \Rightarrow CD = \dfrac{{xb}}{c}$ και αφού AS = 2CD

από Π.Θ. στο $\triangleleft ABS:{x^2} = \dfrac{{{c^4}}}{{4{b^2} + {c^2}}}$

Έτσι, $\left( {CSB} \right) = \dfrac{{BS \cdot CD}}{2} = \dfrac{{b{x^2}}}{{2c}} = \dfrac{{b{c^3}}}{{2(4{b^2} + {c^2})}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 22, 2016 9:18 am**

KARKAR έγραψε:Εμβαδάκι β.pngΕύλογα πλέον αναφύεται το ερώτημα : Πόσο είναι το , αν $b \neq c$ ;

Καλημέρα σε όλους.

Πάλι $(CBS) = (OBS) = (OSA) = xy\,\,\,\,(1)$ . Αλλά

$\boxed{y = \frac{{bx}}{R}\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{x^2} + {y^2} = {R^2} \Rightarrow \boxed{{x^2} = \frac{{{R^4}}}{{{R^2} + {b^2}}}}$ και ή (1)