mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 30, 2010 12:21 am**

Έστω ΑΒΓΔΕΖΗΘ ένας κύβος με μήκος ακμής α. Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας ΓΑΖΘ.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 30, 2010 1:27 am**

Οι ακμές της πυραμίδας ΑΓΖΘ είναι όλες διαγώνιες τετραγώνων πλευράς α άρα κάθε ακμή της είναι b= $a\sqrt{2}$ (κανονικό τετράεδρο)
Η έδρα ΘΖΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς b , ύψους υ= $\frac{b\sqrt{3}}{2}$
και εμβαδού Ε= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Αν d =ΑΚ είναι το ύψος της πυραμίδας από το Α προς την έδρα ΘΖΓ τότε το Κ είναι Βαρύκεντρο του τρίγωνου ΘΖΓ και το τρίγωνο ΑΚΓ είναι ορθογώνιο (γων. Κ= $90^{0}$ ) οπότε από πυθαγόρειο έχουμε
$d^{2}+(\frac{2}{3}\frac{b\sqrt{3}}{2})^{2}=b^{2}\Leftrightarrow d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
τελικά ο ζητούμενος όγκος είναι V= $\frac{a^{3}}{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 30, 2010 1:36 pm**

: cube.png (22.76 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Μία κάπως διαφορετική προσέγγιση:
Ο ζητούμενος όγκος μπορεί να προκύψει αν από τον όγκο του κύβου αφαιρέσουμε τους όγκους των πυραμίδων ΑΕΘΖ, ΓΖΗΘ, ΑΒΓΖ, ΑΔΓΘ. Κάθε μία από αυτές έχει βάση που έχει εμβαδόν το μισό του εμβαδού μίας ακμής του κύβου και ύψος το ύψος του κύβου. Άρα ο όγκος της είναι το $\frac{1}{3}$ (γιατί είναι πυραμίδα) του $\frac{1}{2}$ (γιατί έχουμε το μισό του εμβαδού της βάσης) του όγκου του κύβου. Δηλαδή το $\frac{1}{6}$ του όγκου του κύβου. 'Αρα ο ζητούμενος όγκος είναι ο όγκος του κύβου μείον τα $4\times \frac{1}{6}=\allowbreak \frac{2}{3}$ του όγκου του δηλαδή το $\frac{1}{3}$ του δηλαδή $\frac{1}{3}\alpha ^{3}$ .
Μαυρογιάννης

_____________________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: ΑΣΕΠ, κύβος, όγκος, πυραμίδα
_____________________________________________________________________________________

mathematica.gr

Όγκος πυραμίδας

Όγκος πυραμίδας

Re: Όγκος πυραμίδας

Re: Όγκος πυραμίδας