mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 3:22 pm**

Δίνεται η εξίσωση $\alpha {x^4} + \beta {x^3} + 2\alpha {x^2} + \beta x + \alpha = 0$ με $\alpha ,\beta \in R$ και $\alpha \cdot \beta \ne 0$ .

Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των $\alpha$ και $\beta$ ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερεις μη πραγματικές ρίζες.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 3:30 pm**

hlkampel έγραψε:Δίνεται η εξίσωση $\alpha {x^4} + \beta {x^3} + 2\alpha {x^2} + \beta x + \alpha = 0$ με $\alpha ,\beta \in R$ και $\alpha \cdot \beta \ne 0$ .

Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των $\alpha$ και $\beta$ ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερεις μιγαδικές ρίζες.

Ηλία, μάλλον κάτι άλλο εννοείς, αφού η παραπάνω εξίσωση, ως πολυωνυμική 4ου βαθμού, έχει πάντα 4 μιγαδικές ρίζες.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 4:43 pm**

[/quote]
Ηλία, μάλλον κάτι άλλο εννοείς, αφού η παραπάνω εξίσωση, ως πολυωνυμική 4ου βαθμού, έχει πάντα 4 μιγαδικές ρίζες.[/quote]

Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση. Ευχαριστώ τον Θάνο Μάγκο και τον Γιώργο Απόκη για την επισήμανση.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 7:07 pm**

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται:
$\alpha(x^2+1)^2=-\beta x(x^2+1)$
αν υποθέσουμε ότι έχει ρίζα πραγματική x_0

, τότε θα είναι $x_0^2+1 \neq 0 ,\,\,\, x_o\neq 0$ άρα θα έχουμε:
$x_0+\frac{1}{x_0}=-\frac{\beta}{\alpha}$ , δηλαδή το $-\frac{\beta}{\alpha}$ ανήκει στο σύνολο τιμών της πραγματικής συνάρτησης $f(x)=x+\frac{1}{x}$
Αυτό δίνει: $|\frac{\beta}{\alpha}|\geq 2$
Άρα για να μην έχει πραγματική ρίζα η εξίσωση πρέπει $|\frac{\beta}{\alpha}|< 2$
Η συνθήκη είναι και ικανή γιατί αν $|\frac{\beta}{\alpha}|< 2$ τότε $\beta =2m\alpha,\,\,\, |m|<1$ και η αρχική με αντικατάσταση γράφεται:
$\alpha (x^2+1)(x^2+2mx+1)=0$
και η δευτεροβάθμια που προκύπτει έχει διακρίνουσα D= 4(m^2-1)<0

,αφού

, συνεπώς δεν έχει πραγματικές ρίζες. ( x^2+1>0

,αν $x\in \mathbb{R}$ )

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 7:26 pm**

Απορία
Ηλία γιατί δεν λές να λυθεί η εξίσωση;
Είτε με την παραγοντοποίηση που φάνηκε στη λύση είτε ως αντίστροφη πολυωνυμική (το λέω καλά;;), μπορεί να λυθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 04, 2011 8:00 pm**

liolios19 έγραψε:Απορία
Ηλία γιατί δεν λές να λυθεί η εξίσωση;
Είτε με την παραγοντοποίηση που φάνηκε στη λύση είτε ως αντίστροφη πολυωνυμική (το λέω καλά;;), μπορεί να λυθεί.

liolios19 (αλήθεια ποιο είναι το όνομα σου;) μόλις ετοίμαζα την δεύτερη λύση που προτείνεις.
Βεβαίως η εξίσωση είναι αντίστροφη και μετά από τη γνωστή διαδικασία καταλήγουμε στην εξίσωση:
$\alpha {y^2} + \beta y = 0 \Leftrightarrow y\left( {\alpha y + \beta } \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\;\;\dot \eta \quad y = - \frac{\beta }{\alpha }$ όπου $y = x + \frac{1}{x}$ (1)
Με y = 0

η (1) δίνει ${x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm i$
Με $y = - \frac{\beta }{\alpha }$ η (1) δίνει μετά από πράξεις:
$\alpha {x^2} + \beta x + \alpha = 0$
Για να έχει μη πραγματικές ρίζες πρέπει $\Delta < 0 \Leftrightarrow {\beta ^2} - 4{\alpha ^2} < 0 \Leftrightarrow \left| {\frac{\beta }{\alpha }} \right| < 2$

mathematica.gr

Απλή σχέση

Απλή σχέση

Re: Απλή σχέση

Re: Απλή σχέση

Re: Απλή σχέση

Re: Απλή σχέση

Re: Απλή σχέση