mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 13, 2010 12:40 am**

Αν a, b, c πλευρές τριγώνου και γ η απέναντι γωνία της πλευράς c τότε να αποδείξετε πως:

$\displaystyle{ c \ge \left( {a + b} \right)\sin (\frac{\gamma }{2}) }$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 13, 2010 12:58 am**

Γειά σου Χρήστο,

Επειδή την θεωρώ ωραία άσκηση και δεν θέλω να χαλάσω το θέμα προτείνω σε όποιον θέλει να την προσπαθήσει πρώτα.

Λόγω των ωραίων λύσεων που δώθηκαν δίνω το παρακάτω link.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 13, 2010 1:32 am**

Γειά σου Αλέξανδρε!
Αγνοούσα αυτό το πόστ(δεν μπαίνω στο art of problem solving, είμαι κολλημένος στο mathematica).
Όντως πολλές και ωραίες οι λύσεις.
Να πω πως το θέμα είναι προταθέν σε διαγωνισμό απο τον V.Prasolov.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 13, 2010 8:43 am**

καλημέρα

αλλάζουμε με νόμο ημιτόνων

$\color{blue}\displaystyle{ c \geq (a + b)\sin (\frac{C }{2})\Leftrightarrow 2R \sin C\geq 2R(\sin A+\sin B)\sin \frac{C}{2}\Leftrightarrow \sin C\geq (\sin A+\sin B)\sin \frac{C}{2}\Leftrightarrow}$

$\color{blue}\displaystyle{2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\geq 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\sin \frac{C}{2}\stackrel{\displaystyle \sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}}\Longleftrightarrow \cos \frac{A-B}{2}\leq 1}$

με το (=) να ισχύει αν-ν Α=Β

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 28, 2010 10:13 am**

Και μία μη τριγωνομετρική λύση με λίγες πράξεις.
Ας είναι Ι το έγκεντρο του τριγώνου και Δ το σημείο τομής της ΑΙ με την ΒΓ. Είναι, ως γνωστόν, $BD=\frac{ac}{b+c}$ και εφαρμόζοντας πάλι το θεώρημα των διχοτόμων βρίσκουμε $ID=IA\frac{a}{b+c}$ . Είναι προφανώς $ID\geq r$ (r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου), και επειδή $IA=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$ , προκύπτει η ζητούμενη.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 28, 2010 3:36 pm**

Φίλε Χρίστο,
Επίτρεψε μου μία άλλης νοοτροπίας διαπραγμάτευση:
Έστω Μ το μέσο του τόξου ΑΒ απέναντι από την κορυφή C,καλούμε d=MA=MB , x=ΜC ,R την ακτίνα του περιγραμμένου κύκλου.
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι :
$dc \geqslant cx\sin \frac{C} {2}$ (θ. Πτολεμαίου) αρκεί
$d \geqslant 2R\sin \frac{C} {2},$
πού είναι αληθής από τον ορισμό του sin .Λάβαμε υπ’ όψη ότι :
$x \leqslant 2R.$

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 29, 2010 10:17 am**

Με τέτοιο τίτλο δεν θα μπορούσα να μην προσπαθήσω για μια ακόμα λύση!

Καθαρόαιμη τριγωνομετρική

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Τα α, β, γ $\displaystyle \eta \mu \frac{\Gamma }{2}$ είναι θετικοί αριθμοί.

Είναι
$\displaystyle 1 \ge \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow \;\left( {\alpha - \beta } \right)^2 \ge \left( {\alpha - \beta } \right)^2 \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow \;\alpha ^2 - 2\alpha \beta + \beta ^2 \ge \left[ {\left( {\alpha + \beta } \right)^2 - 4\alpha \beta } \right]\eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow$

$\displaystyle \; \Rightarrow \;\alpha ^2 + \beta ^2 - 2\alpha \beta + 4\alpha \beta \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2} \ge \left( {\alpha + \beta } \right)^2 \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \;\alpha ^2 + \beta ^2 - 2\alpha \beta \left( {1 - 2\eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}} \right) \ge \left( {\alpha + \beta } \right)^2 \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \;\alpha ^2 + \beta ^2 - 2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \ge \left( {\alpha + \beta } \right)^2 \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \gamma ^2 \ge \left( {\alpha + \beta } \right)^2 \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow \;\gamma \ge \left( {\alpha + \beta } \right)\eta \mu \frac{\Gamma }{2}$

Το (=) ισχύει όταν α = β.
Τότε: $\displaystyle \gamma ^2 = 2\alpha ^2 - 2\alpha ^2 \sigma \upsilon \nu \Gamma = 2\alpha ^2 \left( {1 - \sigma \upsilon \nu \Gamma } \right) = 4\alpha ^2 \eta \mu ^2 \frac{\Gamma }{2}\; \Rightarrow \;\gamma = 2\alpha \eta \mu \frac{\Gamma }{2}$

Εννοείται ότι στην επίλυση οδηγήθηκα κινούμενος με την αντίστροφη φορά.
Κατόπιν γράφτηκαν τα βήματα της απόδειξης σε ευθεία.

Γιώργος Ρίζος

mathematica.gr

Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Re: Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Re: Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Re: Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Re: Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Re: Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!

Re: Και γεωμετρία και τριγωνομετρία!