mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 15, 2024 9:31 pm**

Δύο φίλοι, ο Μάνος και ο Δημήτρης, έχουν από ένα σακουλάκι με καραμέλες.
Ακολούθησε ο εξής διάλογος:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Μάνο, έχω πολύ περισσότερες από τις δικιές σου. Σου δίνω πρώτα

καραμέλες και ύστερα θα σου τις διπλασιάσω.
ΜΑΝΟΣ: Για να δω πόσες έχει ο καθένας μας...Ά!!! έχουμε από ίσες!!!
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Δεν το βλέπω και τόσο δίκαιο.
ΜΑΝΟΣ: Σου ξαναδίνω πίσω όσες μου έδωσες και αν θέλεις δώσε μου κάποιες εσύ.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Θα σου δώσω πρώτα εγώ

αλλά ύστερα εσύ θα μου δώσεις το ένα τρίτο από αυτές που θα συγκεντρώσεις.
ΜΑΝΟΣ: Ωραία , ας ξανά μετρήσουμε τώρα τις καραμέλες μας... Α! Δεν είναι δυνατόν!! Πάλι από ίσες έχουμε!!!
Πόσες καραμέλες είχαν στην αρχή οι δύο φίλοι;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 15, 2024 11:29 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 9:31 pm
Δύο φίλοι, ο Μάνος και ο Δημήτρης, έχουν από ένα σακουλάκι με καραμέλες.
Ακολούθησε ο εξής διάλογος:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Μάνο, έχω πολύ περισσότερες από τις δικιές σου. Σου δίνω πρώτα καραμέλες και ύστερα θα σου τις διπλασιάσω.
ΜΑΝΟΣ: Για να δω πόσες έχει ο καθένας μας...Ά!!! έχουμε από ίσες!!!
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Δεν το βλέπω και τόσο δίκαιο.
ΜΑΝΟΣ: Σου ξαναδίνω πίσω όσες μου έδωσες και αν θέλεις δώσε μου κάποιες εσύ.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ: Θα σου δώσω πρώτα εγώ αλλά ύστερα εσύ θα μου δώσεις το ένα τρίτο από αυτές που θα συγκεντρώσεις.
ΜΑΝΟΣ: Ωραία , ας ξανά μετρήσουμε τώρα τις καραμέλες μας... Α! Δεν είναι δυνατόν!! Πάλι από ίσες έχουμε!!!
Πόσες καραμέλες είχαν στην αρχή οι δύο φίλοι;

Έστω $\displaystyle{x}$ οι καραμέλες του Μάνου.

Αφού του δώσει ο Δημήτρης $\displaystyle{4}$ και μετά άλλες $\displaystyle{x+4}$ , για να τις διπλασιάσει, τότε ο Μάνος θα έχει $\displaystyle{2x+8 =x+(x+8)}$ , όσες έχει τώρα ο Δημήτρης.

Έτσι αρχικά οι καραμέλες του Δημήτρη θα ήταν $\displaystyle{2x+8+(x+8)=3x+16}$ .

Ο Μάνος ξαναδίνει τις καραμέλες που πήρε από το Δημήτρη και έτσι έχουν: $\displaystyle{x}$ ο Μάνος και $\displaystyle{3x+16}$ ο Δημήτρης.

Ο Δημήτρης του δίνει $\displaystyle{20}$ καραμέλες και παίρνει από τον Μάνο το $\displaystyle{\frac{1}{3}(x+20)}$ και έχουν πάλι ... "από ίσες".

Έτσι

$\displaystyle{3x+16-20+\frac{1}{3}(x+20)=\frac{2}{3}(x+20)\Leftrightarrow ...x=4}$

Άρα αρχικά ο Μάνος είχε $\displaystyle{4}$ καραμέλες και ο Δημήτρης $\displaystyle{3\cdot 4+16=28}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 27, 2024 10:03 am**

Έστω ότι x είναι ο αριθμός των καραμελών που έχει ο Μάνος αρχικά και y ο αριθμός των καραμελών που έχει ο Δημήτρης αρχικά.

Μετά την προσφορά των 4 καραμελών, ο Μάνος θα έχει x+4 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−4 καραμέλες.

Στη συνέχεια, ο Δημήτρης διπλασιάζει τον αριθμό των καραμελών που έχει ο Μάνος, έτσι ο Μάνος θα έχει 2(x+4) καραμέλες.

Αυτή τη στιγμή, ο Μάνος και ο Δημήτρης έχουν τον ίδιο αριθμό καραμελών, άρα: 2(x+4)=y−4
Αυτό απλοποιείται σε:
2x+8=y−4
2x + 12 = y (Εξιˊσωση 1)

Μετά την επιστροφή των 4 καραμελών, ο Μάνος θα έχει 2x+8 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−8 καραμέλες.
Στη συνέχεια, ο Δημήτρης δίνει στον Μάνο 20 καραμέλες. Μετά από αυτό, ο Μάνος θα έχει 2x+8+20=2x+28 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−8−20=y−28 καραμέλες.

Ο Μάνος έχει 2x+28 καραμέλες, άρα το ένα τρίτο αυτών είναι: 1/3(2x+28)
Ο Μάνος δίνει αυτό το ποσό στον Δημήτρη, οπότε μετά την ανταλλαγή ο Μάνος θα έχει:
2x + 28 − 1/3(2x + 28) = 2/3(2x + 28)
και ο Δημήτρης θα έχει: y - 28 + 1/3(2x + 28)
Αυτή τη στιγμή, έχουν πάλι τον ίδιο αριθμό καραμελών, άρα: 2/3(2x + 28) = y - 28 + 1/3(2x + 28)
Έχουμε τώρα το σύστημα δύο εξισώσεων: y=2x+12
\frac{2}{3}(2x + 28) = y - 28 + \frac{1}{3}(2x + 28) ]
Αρχικά απλοποιούμε τη δεύτερη εξίσωση: 2/3(2x + 28) = y - 28 + 1/3(2x + 28)
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το 3 για να εξαλείψουμε τα κλάσματα:
2(2x + 28) = 3(y - 28) + (2x + 28)
Απλοποιούμε και τις δύο πλευρές:
4x+56=3y−84+2x+28
4x+56=3y−56+2x
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν το x και το y στη μία πλευρά:
4x−2x=3y−56−56
2x=3y−112
Αντικαθιστούμε y=2x+12 από την Εξίσωση 1:
2x=3(2x+12)−112
Απλοποιούμε:
2x=6x+36−112
2x=6x−76
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν το x στη μία πλευρά:
2x−6x=−76
−4x=−76
x=19 getaway shootout
Αντικαθιστούμε το x=19 στην εξίσωση y=2x+12:
y=2(19)+12=38+12=50
Ο Μάνος είχε αρχικά 19 καραμέλες και ο Δημήτρης είχε αρχικά 50 καραμέλες.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 24, 2025 11:25 pm**

YeseniaJensen έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2024 10:03 am
Έστω ότι x είναι ο αριθμός των καραμελών που έχει ο Μάνος αρχικά και y ο αριθμός των καραμελών που έχει ο Δημήτρης αρχικά.
Μετά την προσφορά των 4 καραμελών, ο Μάνος θα έχει x+4 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−4 καραμέλες.

Στη συνέχεια, ο Δημήτρης διπλασιάζει τον αριθμό των καραμελών που έχει ο Μάνος, έτσι ο Μάνος θα έχει 2(x+4) καραμέλες.
Αυτή τη στιγμή, ο Μάνος και ο Δημήτρης έχουν τον ίδιο αριθμό καραμελών, άρα: 2(x+4)=y−4
Αυτό απλοποιείται σε:
2x+8=y−4
2x + 12 = y (Εξιˊσωση 1)
Μετά την επιστροφή των 4 καραμελών, ο Μάνος θα έχει 2x+8 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−8 καραμέλες.
Στη συνέχεια, ο Δημήτρης δίνει στον Μάνο 20 καραμέλες. Μετά από αυτό, ο Μάνος θα έχει 2x+8+20=2x+28 καραμέλες και ο Δημήτρης θα έχει y−8−20=y−28 καραμέλες.
Ο Μάνος έχει 2x+28 καραμέλες, άρα το ένα τρίτο αυτών είναι: 1/3(2x+28)
Ο Μάνος δίνει αυτό το ποσό στον Δημήτρη, οπότε μετά την ανταλλαγή ο Μάνος θα έχει:
2x + 28 − 1/3(2x + 28) = 2/3(2x + 28)
και ο Δημήτρης θα έχει: y - 28 + 1/3(2x + 28)
Αυτή τη στιγμή, έχουν πάλι τον ίδιο αριθμό καραμελών, άρα: 2/3(2x + 28) = y - 28 + 1/3(2x + 28)
Έχουμε τώρα το σύστημα δύο εξισώσεων: y=2x+12
\frac{2}{3}(2x + 28) = y - 28 + \frac{1}{3}(2x + 28) ]
Αρχικά απλοποιούμε τη δεύτερη εξίσωση: 2/3(2x + 28) = y - 28 + 1/3(2x + 28)
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το 3 για να εξαλείψουμε τα κλάσματα:
2(2x + 28) = 3(y - 28) + (2x + 28)
Απλοποιούμε και τις δύο πλευρές:
4x+56=3y−84+2x+28
4x+56=3y−56+2x
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν το x και το y στη μία πλευρά:
4x−2x=3y−56−56
2x=3y−112
Αντικαθιστούμε y=2x+12 από την Εξίσωση 1:
2x=3(2x+12)−112
Απλοποιούμε:
2x=6x+36−112
2x=6x−76
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν το x στη μία πλευρά:
2x−6x=−76
−4x=−76
x=19 getaway shootout
Αντικαθιστούμε το x=19 στην εξίσωση y=2x+12:
y=2(19)+12=38+12=50
Ο Μάνος είχε αρχικά 19 καραμέλες και ο Δημήτρης είχε αρχικά 50 καραμέλες.

Καλό βράδυ. Στο ξεκίνημα του συλλογισμού, υπάρχει η εξής απροσεξία:

Όταν ο Δημήτρης διπλασιάσει τις καραμέλες του Μάνου, τότε οι δικές του δεν θα είναι πλέον $\displaystyle{y-4}$ .

mathematica.gr

Οι δύο φίλοι

Οι δύο φίλοι

Re: Οι δύο φίλοι

Re: Οι δύο φίλοι

Re: Οι δύο φίλοι