mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 11, 2011 2:07 pm**

Να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο ABC

του οποίου τα μέσα των δύο πλευρών του να είναι τα δοθέντα σημεία M , N

(Με κανόνα και διαβήτη)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 11, 2011 3:29 pm**

Και μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή:

"Να κατασκευαστεί το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ του οποίου τα μέσα των δύο πλευρών του είναι τα δοθέντα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ χρησιμοποιώντας μόνο το διαβήτη"

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 12, 2011 12:07 am**

KDORTSI έγραψε:Και μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή:

"Να κατασκευαστεί το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ του οποίου τα μέσα των δύο πλευρών του είναι τα δοθέντα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ χρησιμοποιώντας μόνο το διαβήτη"

Λόγω της ενδιαφέρουσας παραλλαγής που προτείνει ο Κώστας, θέλω να προσθέσω ένα ιστορικό σχόλιο. Συγκεκριμένα, που άραγε έχουμε δει κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου με διαβήτη μόνο, αν δίνεται η μία πλευρά του; (*)

Μα στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βέβαια. Είναι η πρώτη-πρώτη πρόταση στο αθάνατο αυτό βιβλίο.

Μ.

(*) το βήμα αυτό χρειάζεται στην λύση του παραπάνω προβλήματος.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 19, 2013 10:05 pm**

p_gianno έγραψε:Να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου τα μέσα των δύο πλευρών του να είναι τα δοθέντα σημεία (Με κανόνα και διαβήτη)

: Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 3468 φορές

σε δυο βήματα :

1. Φέρνω τους κύκλους $\displaystyle{C_1(M,\rho=MN)}$ και $\displaystyle{C_2(N,MN)}$ , ονομάζω $\displaystyle{A}$ το ένα σημείο τομής τους
2. Φέρνω τις ευθείες $\displaystyle{AM}$ και $\displaystyle{AN}$ και ονομάζω $\displaystyle{B,\Gamma}$ τα σημεία τομής τους (πλην του $\displaystyle{A}$ ) με τους κύκλους $\displaystyle{ C_1.C_2}$ αντίστοιχα

τότε το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισόπλευρο
ως ισοσκελές διότι $\displaystyle{AB=2AM=2\rho=2AN=A\Gamma$
με γωνία κορυφής $\displaystyle{\widehat{MAN}=60^o}$ αφού το τρίγωνο AMN

είναι ισόπλευρο ( $AM=MN=NA=\rho$ )

Υ.Γ. επιστρέφω σε λίγο και με την άλλη κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 19, 2013 10:33 pm**

KDORTSI έγραψε:"Να κατασκευαστεί το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ του οποίου τα μέσα των δύο πλευρών του είναι τα δοθέντα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ χρησιμοποιώντας μόνο το διαβήτη"

: Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου μόνο με διαβήτη.png (16.6 KiB) Προβλήθηκε 3451 φορές

σε δυο βήματα :

1. Φέρνω τους κύκλους $\displaystyle{C_1(M,\rho=MN)}$ και $\displaystyle{C_2(N,MN)}$ , ονομάζω $\displaystyle{A,K}$ τα σημεία τομής τους
2. Φέρνω τον κύκλο $\displaystyle{C_3(K,KM=MN=\rho)}$ και ονομάζω $\displaystyle{B,\Gamma}$ τα σημεία τομής του (πλην των $\displaystyle{M,N}$ ) με τους κύκλους $\displaystyle{ C_1.C_2}$ αντίστοιχα

τα τρίγωνα $\displaystyle{AMN,BMK,MNK,KN\Gamma}$ είναι ισόπλευρα ( $\rho=AM=MN=NA=BM=MK=BK=KN=K\Gamma=N\Gamma$ )
οπότε όλες οι γωνίες τους είναι $\displaystyle{60^o}$
$\displaystyle{\widehat{AMB}=\widehat{AMN}+\widehat{MNK}+\widehat{MKB}=60^o+60^o+60^o=180^o}$ , δηλαδή τα σημεία $\displaystyle{A,M,B$ είναι συνευθειακά
οπότε $\displaystyle{AB=AM+MB=\rho+\rho=2\rho}$
ομοίως προκύπτει οτι $\displaystyle{A\Gamma=B\Gamma=2\rho}$
οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισόπλευρο

Υ.Γ. Βελτίωσα την παραπάνω αιτιολόγηση

mathematica.gr

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου