Σελίδα 1 από 1

Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 10:32 pm
από Mihalis_Lambrou
Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 10:50 pm
από hlkampel
Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Χωρίς λόγια

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 10:50 pm
από achilleas
Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Αφού MA=MB, το M είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του AB με την υποτείνουσα BC. Η μεσοκάθετος του τμήματος AB διέρχεται από το μέσο του AB και είναι παράλληλη στην πλευρά AC, κι άρα θα διέρχεται από το μέσο της BC. Συνεπώς, το M είναι το μέσο της BC.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 10:53 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Προκύπτει ότι \widehat{ABM}=\widehat{BAM}. Επειδή όμως οι γωνία \widehat{ABM} είναι συμπληρωματική της \widehat{ACM} και η \widehat{BAM} είναι συμπληρωματική της \widehat{MAC}, άρα \widehat{ACM}=\widehat{MAC}. Επομένως MC=MA=MB και άρα M το μέσο της υποτείνουσας.

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 10:56 pm
από Mihalis_Lambrou
Η απόδειξη του Ηλία/Διονύση και αυτή του Αχιλλέα είναι οι δύο από τις τρεις που είχα κατά νου. Μένει άλλη μία εξίσου απλή.

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 11:05 pm
από hlkampel
Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Δεν ξέρω αν κάνει για τον φάκελο…

Αν N το μέσο της BC το τρίγωνο ANB είναι ισοσκελές οπότε \widehat {NAB} = \widehat B = \widehat {MAB}

από το ισοσκελές τρίγωνο ABM .
Άρα το N ταυτίζεται με το M

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 04, 2017 11:38 pm
από Doloros
Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.

Αν και νομίζω λέω ότι και ο Αχιλλέας.
Αρχιμήδης  εφα.png
Αρχιμήδης εφα.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου BC και τυχαία χορδή του AA'. Το μόνο σημείο της BC

που ισαπέχει των A,A' είναι το μέσο της γιατί αλλιώτικα θα είχαμε δύο κάθετες στο μέσο της χορδής AA' .

Άρα και στην περίπτωσή μας το M μέσο του BC.

Φιλικά, Νίκος

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 05, 2017 12:20 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Εστω D το μέσο της AB
Επειδή το τρίγωνο MAB ισοσκελές η MD είναι κάθετη στην AB οπότε παράλληλη στην AC.
Αρα από τις παράλληλες έχουμε \angle MCA=\angle DMB,\angle CAM=\angle AMD
Επειδή η MD είναι και διχοτόμος οι προηγούμενες δίνουν ότι το τρίγωνο CMA
είναι ισοσκελές,οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 05, 2017 12:55 am
από Mihalis_Lambrou
Και άλλη μία.

Έστω N το μέσον της BC. Αν δεν συνέπιπτε με το M θα ήταν είτε χαμηλότερα (βλέπε σχήμα) είτε ψηλότερα. Στην πρώτη περίπτωση \displaystyle{AM=MB=MN+NB=MN+AN > AM}. Άτοπο. Όμοια αν το N είναι ψηλότερα.

Re: Αρχιμήδης έφα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 05, 2017 12:13 pm
από nikkru
Ας προσθέσω άλλη μία.

Ο Κύκλος κέντρου M και ακτίνας R=MA=MB, τέμνει την BC στο N . Τότε \widehat {NAB}=90^{o}
Όμως υπάρχει μοναδική κάθετη στην AB στο A άρα N\equiv C, δηλαδή MC=MB=R.
Αρχιμήδης έφα.png
Αρχιμήδης έφα.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές