mathematica.gr • Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Σελίδα 1 από 1

Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 26, 2018 8:31 pm

από Tolaso J Kos

Να αποδειχθεί ότι για $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ είναι
$\displaystyle{-2 < \sin x + \cos x < 2}$

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 26, 2018 9:13 pm

από glinos

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 8:31 pm
Να αποδειχθεί ότι για $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ είναι
$\displaystyle{-2 < \sin x + \cos x < 2}$

Είναι $-1\leq sinx\leq 1$ και $-1\leq cosx\leq 1$ , οπότε με πρόσθεση κατά μέλη των δύο ανισοτήτων παίρνουμε $-2\leq sinx+cosx\leq 2$ . Για να ισχύει μία ισότητα πρέπει $sinx=cosx=\pm 1$ .Όμως αυτό είναι άτοπο αφού εάν $sinx=cosx\Leftrightarrow x=45^{\circ}\Leftrightarrow sinx=cosx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq \pm 1$ , άρα -2< sinx+cosx< 2

-2< sinx+cosx< 2

Απορία:Γιατί πρέπει να ισχύει $0\leq x\leq 180?$

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 26, 2018 9:19 pm

από Christos.N

glinos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:13 pm
Απορία:Γιατί πρέπει να ισχύει $0\leq x\leq 180?$

Θες να δείξεις το $\displaystyle - 1 \leqslant \sin x + \cos x < 2$ ;

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 26, 2018 9:35 pm

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Εγώ πάντως θα έγραφα

$(\sin x+\cos x)^{2}=(\sin x)^{2}+(\cos x)^{2}+2\sin x\cos x\leq 1+2=3$

Αρα $-2< -\sqrt{3}\leq \sin x+\cos x\leq \sqrt{3}< 2$

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 27, 2018 2:46 am

από AlexandrosG

Επίσης $(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x \leq 2$ και άρα $-\sqrt{2}\leq \sin x+\cos x\leq \sqrt{2}$ .

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 27, 2018 9:40 am

από Tolaso J Kos

Πολύ ωραίες προσεγγίσεις.

glinos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:13 pm
Απορία:Γιατί πρέπει να ισχύει $0\leq x\leq 180?$

Γιατί στη Γ Γυμνασίου μέχρι εκεί ξέρουν τα παιδιά τις γωνίες.