mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 18, 2016 9:14 am**

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 23x-59y=3

.

1η Λύση
Επειδή οι συντελεστές 23, 59 της Διοφαντικής εξίσωσης είναι πρώτοι μεταξύ τους, η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις. Ακόμη, επειδή οι συντελεστές είναι μεγάλοι, θα λυθεί με την εύρεση του Μ.Κ.Δ αυτών με τον Αλγόριθμο του Ευκλείδη.
$59=2 \cdot 23+13 \Rightarrow 13=59-2 \cdot 23 \qquad (4)$
$23=1 \cdot 13+10 \Rightarrow 10=23-1 \cdot 13 \qquad(3)$
$13=1 \cdot 10+3 \Rightarrow 3=13-1 \cdot 10 \qquad(2)$
$10=3 \cdot 3+1 \Rightarrow 1=10-3 \cdot 3 \qquad (1)$
Μ.Κ.Δ=1

Από (1) $\Rightarrow 1=10-3(13-1\cdot10)= 4\cdot10-3\cdot13$
Από (2) $\Rightarrow 1=4\cdot(23-1\cdot13) - 3 \cdot 13=4\cdot23-7\cdot13$
Από (3) $\Rightarrow 1=4\cdot23-7\cdot(59-2\cdot23) =18\cdot23-7\cdot59$
Από (3) $\Rightarrow 1=18\cdot23-7\cdot59$

Πολλαπλασιάζω με 3 $\Rightarrow 3=54\cdot23-21\cdot59$

Οι γενικές λύσεις είναι: $x=x_0- \beta\kappa, y=y_0+\alpha\kappa$ και μόνον αυτές, με $\kappa \in Z$ , δηλαδή,
$x=54+59\kappa$
$y=-21+23\kappa, \kappa \in Z$

2η Λύση
$23x-59y=3 \Rightarrow x=\frac{59y+3}{23}=2y+\frac{13y+3}{23}=2y+\omega$ (θέτω $\frac{13y+3}{23}=\omega)n \Rightarrow x=2y+\omega (4)$
$\omega=\frac{13y+3}{23} \Rightarrow 23\omega-3=13y \Rightarrow y=\frac{23\omega-3}{13}= \omega+\frac{10\omega-3}{13}=\omega+\phi$ (θέτω $\frac{10\omega-3}{13}=\phi) \Rightarrow y=\omega+\phi (3)$
$\phi=\frac{10\omega-3}{13} \Rightarrow 13\phi +3=10\omega \Rightarrow \omega=\frac{13\phi+3}{10}=\phi+\frac{3\phi+3}{10}=\phi+z$ (θέτω $\frac{3\phi+3}{10}=z)\Rightarrow \omega=\phi+z (2)$
$\frac{3\phi+3}{10}=z \Rightarrow \frac{10z-3}{3}=\phi \Rightarrow \phi=3z+\frac{z-3}{3} (1)$ για z=0 $\Rightarrow$

Από (1) $\phi=-1$
Από (2) $\omega=-1$
Από (3) y=(-1)+(-1)=-2

Από (4)

Άρα

Γενική λύση
$x=-5+59\kappa$
$y=-2+23\kappa, \kappa\in Z$

mathematica.gr

Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 1x2 με μεγάλους συντελεστές

Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 1x2 με μεγάλους συντελεστές