mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 07, 2024 4:19 pm**

Με την μεταπτυχιακή μου φοιτήτρια εργαζόμαστε σε κείμενα του Αρχιμήδη στην προσπάθειά μας να τεκμηριώσουμε ότι οι αρχές της Τριγωνομετρίας ανάγονται στον ίδιο. Πολλοί θεωρούν ότι οι αρχές της Τριγωνομετρίας ανάγονται στον Ίππαρχο, που έζησε έναν αιώνα αργότερα, ή στον Πτολεμαίο ο οποίος έζησε δύο αιώνες μετά τον Ίππαρχο. Εμείς λέμε ότι πρέπει να πάμε νωρίτερα από τον Πτολεμαίο ή τον Ίππαρχο.

Δυστυχώς τα σχετικά έργα του Ιππάρχου έχουν χαθεί, και πρέπει να βασίσουμε τα στοιχεία μας σε αμυδρές αναφορές από μεταγενέστερους συγγραφείς. Ουσιαστικά το ίδιο συμβαίνει με τα σχετικά έργα του Αρχιμήδη του οποίου, ευτυχώς, σώζονται μερικά σκόρπια θεωρήματά του, τα οποία φαίνονται ασύνδετα μεταξύ τους, στο Περί Λημμάτων ή σε μερικά πολύ μικρά αποσπάσματα στο Αρχαί της Γεωμετρίας του.

Αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να αποφανθούμε ότι τα σκόρπια θεωρήματα στο Περί Λημμάτων (όσα σώζονται γιατί τα πολλά έχουν χαθεί) δεν είναι σκόρπια αλλά αλληλένδετα. Έχουμε καλά επιχειρήματα για τα λεγόμενά μας, αλλά οποιαδήποτε ισχυροποίησή τους θα είναι πλεονέκτημα.

Και εδώ ζητώ την σοφία των Γεωμετρών του φόρουμ, στους οποίους τρέφω άπειρη εκτίμηση.

Το συγκεκριμένο θέμα που με απασχολεί αυτή την στιγμή είναι η Πρόταση 10 από το Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη το οποίο επαναλαμβάνεται στο Αρχαί της Γεωμετρίας του. Το Ελληνικό πρωτότυπο και των δύο έχει χαθεί αλλά υπάρχουν σε Μεσαιωνική Αραβική μετάφραση από όπου σύγχρονη Ελληνική μετάφραση από τον Σταμάτη. Αναρτώ και τις δύο εκδοχές, στο συνημμένο.

Η ερώτησή μου είναι αν βλέπετε κάποια συνάφεια της Πρότασης 10 με το Θεώρημα του Πτολεμαίου ή με το Θεώρημα της σπασμένης χορδής, ή με τον τύπο διπλής γωνίας στην Τριγωνομετρία, ή με οτιδήποτε άλλο; Π.χ. βγαίνει κανένα χρήσιμο πόρισμα από την Πρόταση 10;

Υπόψη ότι έχω συνδέσει το Θεώρημα του Πτολεμαίου με το Θεώρημα της σπασμένης χορδής: Πηγαίνεις από το ένα στο άλλο και πίσω.

Κάθε βοήθεια ευπρόσδεκτη.

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 08, 2024 2:53 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 07, 2024 4:19 pm
Με την μεταπτυχιακή μου φοιτήτρια εργαζόμαστε σε κείμενα του Αρχιμήδη στην προσπάθειά μας να τεκμηριώσουμε ότι οι αρχές της Τριγωνομετρίας ανάγονται στον ίδιο. Πολλοί θεωρούν ότι οι αρχές της Τριγωνομετρίας ανάγονται στον Ίππαρχο, που έζησε έναν αιώνα αργότερα, ή στον Πτολεμαίο ο οποίος έζησε δύο αιώνες μετά τον Ίππαρχο. Εμείς λέμε ότι πρέπει να πάμε νωρίτερα από τον Πτολεμαίο ή τον Ίππαρχο.

Δυστυχώς τα σχετικά έργα του Ιππάρχου έχουν χαθεί, και πρέπει να βασίσουμε τα στοιχεία μας σε αμυδρές αναφορές από μεταγενέστερους συγγραφείς. Ουσιαστικά το ίδιο συμβαίνει με τα σχετικά έργα του Αρχιμήδη του οποίου, ευτυχώς, σώζονται μερικά σκόρπια θεωρήματά του, τα οποία φαίνονται ασύνδετα μεταξύ τους, στο Περί Λημμάτων ή σε μερικά πολύ μικρά αποσπάσματα στο Αρχαί της Γεωμετρίας του.

Αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να αποφανθούμε ότι τα σκόρπια θεωρήματα στο Περί Λημμάτων (όσα σώζονται γιατί τα πολλά έχουν χαθεί) δεν είναι σκόρπια αλλά αλληλένδετα. Έχουμε καλά επιχειρήματα για τα λεγόμενά μας, αλλά οποιαδήποτε ισχυροποίησή τους θα είναι πλεονέκτημα.

Και εδώ ζητώ την σοφία των Γεωμετρών του φόρουμ, στους οποίους τρέφω άπειρη εκτίμηση.

Το συγκεκριμένο θέμα που με απασχολεί αυτή την στιγμή είναι η Πρόταση 10 από το Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη το οποίο επαναλαμβάνεται στο Αρχαί της Γεωμετρίας του. Το Ελληνικό πρωτότυπο και των δύο έχει χαθεί αλλά υπάρχουν σε Μεσαιωνική Αραβική μετάφραση από όπου σύγχρονη Ελληνική μετάφραση από τον Σταμάτη. Αναρτώ και τις δύο εκδοχές, στο συνημμένο.

Η ερώτησή μου είναι αν βλέπετε κάποια συνάφεια της Πρότασης 10 με το Θεώρημα του Πτολεμαίου ή με το Θεώρημα της σπασμένης χορδής, ή με τον τύπο διπλής γωνίας στην Τριγωνομετρία, ή με οτιδήποτε άλλο; Π.χ. βγαίνει κανένα χρήσιμο πόρισμα από την Πρόταση 10;

Υπόψη ότι έχω συνδέσει το Θεώρημα του Πτολεμαίου με το Θεώρημα της σπασμένης χορδής: Πηγαίνεις από το ένα στο άλλο και πίσω.

Κάθε βοήθεια ευπρόσδεκτη.

.

Από την πρόταση

,μπορούμε να αποδείξουμε ότι $sin2 \theta =2sin \theta cos \theta$

Απόδειξη

Είναι φανερό ότι τα σημεία D,A,Z,O,C

είναι ομοκυκλικά.

Αν $\angle ADO= \angle ODC= \theta$ θα είναι $\angle EZC=2 \theta$ και φυσικά $\angle EZH= \angle HZC= \angle HCE= \theta$

$CH \bot ZE \Rightarrow sin2 \theta = \dfrac{CH}{ZC} ,sin \theta = \dfrac{HC}{ZC}= \dfrac{ \dfrac{EC}{2} }{ZC} \Rightarrow 2sin \theta = \dfrac{EC}{ZC}$

Επομένως $\dfrac{sin 2\theta }{2sin \theta }= \dfrac{HC}{EC}=cos \theta \Rightarrow sin2 \theta =2sin \theta cos \theta$

: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης.png (51.17 KiB) Προβλήθηκε 2469 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 08, 2024 11:38 am**

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2024 2:53 am
Από την πρόταση ,μπορούμε να αποδείξουμε ότι $sin2 \theta =2sin \theta cos \theta$

Μιχάλη, ευχαριστώ θερμότατα.

Ας παρατηρήσω ότι για την απόδειξη του $sin2 \theta =2sin \theta cos \theta$ χρειάζεται μόνο το σχήμα που παραθέτω, που είναι τμήμα της Πρότασης

. Τα υπόλοιπα δεν χρειάζονται, οπότε ουσιαστικά η απόδειξη δεν περνά από τα νέα στοιχεία της Πρότασης

. Θα ήθελα κάτι που η πρόταση χρησιμοποιείται ουσιαστικά.

Αργότερα θα επισυνάψω ένα σχήμα στο οποίο θα φαίνεται γιατί υποπτεύομαι ότι η Πρόταση

και το Θεώρημα Πτολεμαίου σχετίζονται. Όμως δεν έχω εντοπίσει πώς ακριβώς.

Υπόψη, μου αρκεί το Θεώρημα Πτολεμαίου μόνο στην ειδική περίπτωση που η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος του κύκλου. Έτσι το χρησιμοποιεί ο Πτολεμαίος.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 08, 2024 12:10 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2024 11:38 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2024 2:53 am
Από την πρόταση ,μπορούμε να αποδείξουμε ότι $sin2 \theta =2sin \theta cos \theta$
Μιχάλη, ευχαριστώ θερμότατα.

Ας παρατηρήσω ότι για την απόδειξη του $sin2 \theta =2sin \theta cos \theta$ χρειάζεται μόνο το σχήμα που παραθέτω, που είναι τμήμα της Πρότασης . Τα υπόλοιπα δεν χρειάζονται, οπότε ουσιαστικά η απόδειξη δεν περνά από τα νέα στοιχεία της Πρότασης . Θα ήθελα κάτι που η πρόταση χρησιμοποιείται ουσιαστικά.

Αργότερα θα επισυνάψω ένα σχήμα στο οποίο θα φαίνεται γιατί υποπτεύομαι ότι η Πρόταση και το Θεώρημα Πτολεμαίου σχετίζονται. Όμως δεν έχω εντοπίσει πώς ακριβώς.

Υπόψη, μου αρκεί το Θεώρημα Πτολεμαίου μόνο στην ειδική περίπτωση που η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος του κύκλου. Έτσι το χρησιμοποιεί ο Πτολεμαίος.

Μιχάλη έχεις δίκιο.

Θα το ξαναδώ όταν έχω χρόνο

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 08, 2024 2:05 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2024 11:38 am
Αργότερα θα επισυνάψω ένα σχήμα στο οποίο θα φαίνεται γιατί υποπτεύομαι ότι η Πρόταση και το Θεώρημα Πτολεμαίου σχετίζονται. Όμως δεν έχω εντοπίσει πώς ακριβώς.

Υπόψη, μου αρκεί το Θεώρημα Πτολεμαίου μόνο στην ειδική περίπτωση που η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος του κύκλου. Έτσι το χρησιμοποιεί ο Πτολεμαίος.

.
Γράφω πρώτα (με δικά μου λόγια αλλά ουσιαστικά χωρίς αλλαγή) την απόδειξη στο Αρχαί της Γεωμετρίας: Έχουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα TCE, TDE

είναι ίσα (άμεσο). Έχουμε τώρα από χρήση της δοθείσας παραλληλίας και των ιδιοτήτων των εγγεγραμμένων γωνιών ότι

$\widehat {CZH}=^{paral} \widehat {CAD}= \frac {1}{2} \widehat {CTD}= \widehat {CTE}$

Άρα το CZTE

είναι εγγράψιμμο, οπότε $\widehat {Z}=\widehat {C}=90^o$ . Άρα

κάθετη στην χορδή

, οπότε

όπως θέλαμε.

Σχολιάζω ότι υποπτεύομαι την συνάφεια του παραπάνω με το Θεώρημα του Πτολεμαίου διότι βλέπουμε το τετράπλευρο στο σχήμα μας ως CZTE

(το γκρίζο στο σχήμα, όπου η μία πλευρά του τετραπλεύρου είναι διάμετρος).

Γιατί έκανε τον κόπο ο Αρχιμήδης να δείξει την ισότητα BZ=ZH

(και μάλιστα με δύο τρόπους: ο άλλος είναι στο Περί Λημμάττων, με χρήση ομοίων τριγώνων); Τόσο σπουδαία του φάνηκε η ισότητα ώστε να σταματήσει εκεί; Επειδή δεν πιστεύω ότι ο Αρχιμήδης εντυπωσιάστηκε από μία δευτερεύουσα ισότητα, υποπτεύομαι ότι την χρειάζεται σε κάτι, και ότι το παραπάνω είναι ένα απλό Λήμμα, χρήσιμο σε κάτι άλλο.

Ποιο;
.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 10, 2024 8:42 am**

: shape.png (32.39 KiB) Προβλήθηκε 2237 φορές

Καλημέρα.

Το θεώρημα Πτολεμαίου, για το τετράπλευρο ${\rm A}\Delta \Gamma {\rm Z}$ , αποδεικνύεται από την ομοιότητα των τριγώνων $\Gamma \Delta {\rm Z},\Gamma {\rm A}{\rm E}$ χωρίς φυσικά να χρησιμοποιείται η ισότητα ${\rm B}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm H} = m$ .

Δεν ξέρω αν βοηθάει κάπου!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 10, 2024 9:24 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2024 8:42 am
Δεν ξέρω αν βοηθάει κάπου!

Μιχάλη, ευχαριστώ θερμά. Είμαι βέβαιος ότι κάπου θα το αξιοποιήσω.

Να 'σαι καλά.

Υπόψη ότι το αρχικό ερώτημα, για το γενικό εγγράψιμμο (ή έστω με μία πλευρά να είναι διάμετρος), ακόμα παραμένει. Η βοήθειά σας ευπρόσδεκτη.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 13, 2024 10:48 am**

Χαιρετώ τους Μιχάληδες!

Μία προσπάθεια για ένα ειδικό εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Θεωρώ κύκλο διαμέτρου AB=2R

και ένα σημείο του

Οι εφαπτόμενες στα B, D

τέμνονται στο

και

η

επανατέμνει τον κύκλο στο

θα δείξω το θεώρημα του Πτολεμαίου για το τετράπλευρο ABCD.

: Αρχιμήδης.ΜΛ.png (22.32 KiB) Προβλήθηκε 2044 φορές

Φέρνω

και έστω

το κοινό σημείο των AS, DT.

Σύμφωνα με το γνωστό λήμμα είναι

AM=MC=x.

Είναι ακόμα, DC=y, AT=BC

$\displaystyle AB \cdot DC + AD \cdot BC = 2Ry + AD \cdot AT = 2Ry + 2Ry = 4Ry$

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABD, APM

είναι $\displaystyle BD = \frac{{2Ry}}{x} \Leftrightarrow AC \cdot BD = 4Ry$

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 13, 2024 5:38 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 13, 2024 10:48 am

Μία προσπάθεια για ένα ειδικό εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Γιώργο, εξαιρετικό. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ.

Μελετώντας το πάνω μισό του σχήματος του Γιώργου πείθομαι ακόμη περισσότερο ότι οι σκόρπιες Προτάσεις στο Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη δεν είναι τόσο σκόρπιες όσο φαίνονται αλλά τις δένει κάποια συνάφεια, την οποία όμως δεν έχω ανακαλύψει στην πλήρη της έκταση.

Για παράδειγμα τώρα βλέπω συνάφεια και με την Πρόταση 2 στο Περί Λημμάτων, η οποία είναι τοποθετημένη σε απόσταση από την παραπάνω, και οι ενδιάμεσες Προτάσεις είναι σε άσχετα θέματα. Συγκεκριμένα, η Πρόταση 2 (βλέπε το σχήμα και παρακάτω το κείμενο σε μετάφραση) και λέει ότι αν φέρουμε την κάθετο από το

στην διάμετρο τότε η

(που έπαιξε ρόλο στο προηγούμενο) την τέμνει σε δύο ίσα τμήματα, DK=KL

. Προφανώς οι δύο Προτάσεις σχετίζονται. .

: Limmata 2.png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 1990 φορές

.

Η ειδικοί πιστεύουν ότι το Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη δεν είναι ακριβώς όπως το έγραψε ο ίδιος αλλά μεταγενέστερη αραβική εκδοχή. O ίδιος πιστεύω, ακόμη ειδικότερα, ότι ο μεταγενέστερος γραφέας ανακάτεψε το κείμενο του Αρχιμήδη σκορπίζοντας δεξιά και αριστερά τις προτάσεις. Υπόψη ότι το κείμενο του Αρχιμήδη ανήκει στα λεγόμενα Αραβικά «μεσαία κείμενα». Αυτά είναι κείμενα τα οποία διδασκόντουσαν οι μαθητευόμενοι Μαθηματικοί αφού ολοκλήρωναν τα Στοιχεία του Ευκλείδη καθώς προετοιμαζόντουσαν για την Μεγίστη Σύνταξη του Πτολεμαίου. Πιθανότατα λοιπόν, ισχυρίζομαι, ότι το Περί Λημμάτων στη μορφή που σώζεται σήμερα να ήταν κάποιες σημειώσεις που κρατούσε ένας μαθητευόμενος ή το μάθημα που δίδασκε κάποιος δάσκαλος. Αυτό εξηγεί και το ανακάτεμα. Σίγουρα ένας μαθηματικός της ολκής του Αρχιμήδη δεν έγραφε το κείμενο στην μορφή που έφτασε στα χέρια μας. Ο στόχος του θα ήταν σαφής αλλά ο Άραβας μαθητευόμενος, το αδίκησε.

Συνεχίζουμε την έρευνα…
.

mathematica.gr

Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;

Re: Τι θέλει να μας πει ο Αρχιμήδης;