mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 15, 2017 6:42 pm**

: _Κανονικό_ πολύγωνο.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές

Φυσικά και υπάρχει το "κανονικό" ( δηλαδή ισογώνιο ) εξάγωνο του σχήματος .

Ασφαλώς έχει

διαγωνίους . Από αυτές , υπάρχουν άραγε κάποιες

που είναι ίσες ; Μήπως υπάρχει και κάποια με ακέραιο μήκος

Απαντήστε - ει δυνατόν - με κάποια λογικά επιχειρήματα ...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 17, 2017 6:35 pm**

Αρχικά έχουμε $\displaystyle ZA=\alpha=2, AB=\beta=4, B\Gamma=\gamma=3, \Gamma\Delta=\delta=5$ ,
$\Delta E=\epsilon=1, EZ=\zeta=6, ZB=m, Z\Gamma=n, Z\Delta=p, AE=q$ ,
$A\Delta=r, A\Gamma=s, BE=t, B\Delta=u, \Gamma E=w$ .
Εφαρμόζοντας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΔΓΒ, ΓΒΑ, ΒΑΖ, ΑΖΕ, ΖΕΔ, ΕΔΓ με υποτίνουσες τις αντίστοιχες διαγωνίους έχουμε :
στο ΔΓΒ: $u^2=\delta ^2+\gamma ^2-2\gamma \delta \cos(120)=25+9+15=49 \Rightarrow u=7$
στο ΓΒA: $s^2=\beta ^2+\gamma ^2-2\gamma \beta \cos(120)=16+9+12=37 \Rightarrow s=6,08$
στο ΒAZ: $m^2=\beta ^2+\alpha ^2-2\alpha \beta \cos(120)=16+4+8=28 \Rightarrow m=5,29$
στο AZE: $q^2=\zeta ^2+\alpha ^2-2\alpha \zeta \cos(120)=36+4+12=52 \Rightarrow q=7,21$
στο ZEΔ: $p^2=\zeta ^2+\epsilon ^2-2\epsilon \zeta \cos(120)=36+1+6=43 \Rightarrow p=6,56$
στο ZEΔ: $w^2=\delta ^2+\epsilon ^2-2\epsilon \delta \cos(120)=25+1+5=31 \Rightarrow w=5,57$
Εφόσον κάθε τετράπλευρο έχει συνολικό άθροισμα γωνιών ίσο με 360 μοίρες τότε απ τα τετράπλευρα ΓΒΑΖ και ΖΕΔΓ προκύπτει ότι οι γωνίες ΑΓΖ=ΔΓΖ=φ. Τότε εφαρμόζοντας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΓΖΑ και ΔΓΖ έχουμε:
στο ΔΓΖ: $s^2=\alpha ^2+n^2-2n\alpha \cos(\phi) \Rightarrow 37=4+n^2-4ncos(\phi) \Rightarrow cos(\phi)=\frac{n^2-33}{4n}$
στο ΓΖΑ: $p^2=\delta ^2+n^2-2n\delta \cos(\phi) \Rightarrow 43=25+n^2-10ncos(\phi) \Rightarrow 18=n^2-\frac{5n^2-165}{2} \Rightarrow$
$\Rightarrow \cdot \cdot \cdot \Rightarrow n^2=43 \Rightarrow n=6,56=p$
Με το ίδιο σκεπτικό στα τετράπλευρα ΔΓΒΕ και ΑΖΕΒ προκύπτει ότι οι γωνίες ΖΕΒ=ΓΒΕ=ω. Τότε εφαρμόζοντας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΓΒΕ και ΖΕΒ έχουμε:
στο ΓΒΕ: $w^2=\gamma ^2+t^2-2t\gamma \cos(\omega) \Rightarrow 31=9+t^2-6tcos(\omega) \Rightarrow cos(\omega)=\frac{t^2-22}{6t}$
στο ΖΕΒ: $m^2=\zeta ^2+t^2-2t\zeta \cos(\omega) \Rightarrow 28=36+t^2-12tcos(\omega) \Rightarrow 12tcos(\omega)=t^2+8 \Rightarrow$
$\Rightarrow \cdot \cdot \cdot \Rightarrow t^2=52 \Rightarrow t=7,21=q$
Με το ίδιο σκεπτικό στα τετράπλευρα ΖΕΔΑ και ΓΒΑΔ προκύπτει ότι οι γωνίες ΖΑΔ=ΓΔΑ=θ. Τότε εφαρμόζοντας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΖΑΔ και ΓΔΑ έχουμε:
στο ΖΑΔ: $p^2=\alpha ^2+r^2-2r\alpha \cos(\theta) \Rightarrow 43=4+r^2-4rcos(\theta) \Rightarrow cos(\theta)=\frac{r^2-39}{4r}$
στο ΓΔΑ: $s^2=\delta ^2+r^2-2r\delta \cos(\theta) \Rightarrow 37=25+r^2-10rcos(\theta) \Rightarrow 10rcos(\theta)=r^2-12 \Rightarrow$
$\Rightarrow \cdot \cdot \cdot \Rightarrow r^2=57 \Rightarrow r=7,55$
Οπότε ίσες είναι η n=p

και η

και ακέραιο μέρος έχει η u=7

mathematica.gr

Ημικανονικό πολύγωνο

Ημικανονικό πολύγωνο

Re: Ημικανονικό πολύγωνο