mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 05, 2019 2:48 pm**

Βρείτε την παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ συνάρτηση

, για την οποία ισχύουν :

$f'(x)x^2-f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}^*$ και $f(1)=\dfrac{1}{e} , f(-1)=e$ .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : Είναι : $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x^2}$ , συνεπώς : $(ln(f(x)))'=(-\dfrac{1}{x})'$ , άρα

$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-\frac{1}{x}}+c & , x<0\\ e^{-\frac{1}{x}}+c'& , x>0 \end{matrix}\right.$ , οπότε λαμβάνοντας υπόψη και τις δοθείσες τιμές ,

προκύπτει ότι : $f(x)=e^{-\frac{1}{x}} ,\forall x\in \mathbb{R}^*$ .

Σίγουρα θα ισχυρισθεί κάποιος ότι η λύση αυτή περιέχει σοβαρά λάθη !

Αν συμφωνείτε με τον ισχυρισμό , ποια νομίζετε ότι είναι αυτά ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 05, 2019 4:31 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 05, 2019 2:48 pm
Βρείτε την παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ συνάρτηση , για την οποία ισχύουν :

$f'(x)x^2-f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}^*$ και $f(1)=\dfrac{1}{e} , f(-1)=e$ .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : Είναι : $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x^2}$ , συνεπώς : $(ln(f(x)))'=(-\dfrac{1}{x})'$ , άρα

$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-\frac{1}{x}}+c & , x<0\\ e^{-\frac{1}{x}}+c'& , x>0 \end{matrix}\right.$ , οπότε λαμβάνοντας υπόψη και τις δοθείσες τιμές ,

προκύπτει ότι : $f(x)=e^{-\frac{1}{x}} ,\forall x\in \mathbb{R}^*$ .

Σίγουρα θα ισχυρισθεί κάποιος ότι η λύση αυτή περιέχει σοβαρά λάθη !

Αν συμφωνείτε με τον ισχυρισμό , ποια νομίζετε ότι είναι αυτά ;

1) Η συγκεκριμένη απάντηση εξετάζει μόνο τα σημεία του πεδίου ορισμού για τα οποία η συνάρτηση δεν είναι 0
2) Στην αντιπαραγώγιση ισχύει $\frac{f'(x)}{f(x)}=(ln(|f(x)|))'$ και όχι (ln(f(x)))'

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 07, 2019 1:39 pm**

Η συνάρτηση που βρέθηκε , όπως τέλος πάντων βρέθηκε , ικανοποιεί τα δεδομένα άρα είναι μια λύση.
Μένει να δειχτεί ότι δεν υπάρχει άλλη .
Επειδή όμως η εκφώνηση αναφέρει ''...τη συνάρτηση ... '' και όχι ''... όλες τις συναρτήσεις ...'' , δεν βρίσκω ουσιαστικά λάθη .

mathematica.gr

Έχει ουσιαστικά λάθη ;

Έχει ουσιαστικά λάθη ;

Re: Έχει ουσιαστικά λάθη ;

Re: Έχει ουσιαστικά λάθη ;