mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 18, 2019 9:18 pm**

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A(x)=\dfrac{x^6-2x^3+1}{x^4-2x^3+x^2} , x>0$

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 18, 2019 9:50 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 9:18 pm
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A(x)=\dfrac{x^6-2x^3+1}{x^4-2x^3+x^2} , x>0$

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ

.
Η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστη τιμή αλλά είναι

και μπορεί να πλησιάσει αυτή την τιμή όσο κοντά θέλουμε.

Εδώ $x\ne 1$ . Με παραγοντοποίηση των πολυωνύμων εύκολα βλέπουμε ότι η παράσταση ισούται $\displaystyle{\left ( x+ \frac {1}{x} +1 \right ) ^2$ (διόρθωσα ένα πρόσημο εδώ).

Βάζοντας $x+ \frac {1}{x} =2+y$ , όπου y>0

λόγω του περιορισμού, το παραπάνω είναι (3+y)^2= 9+6y+y^2 > 9

Παίρνοντας $x\to 1$ πλησιάζουμε το φράγμα όσο θέλουμε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 18, 2019 10:05 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 9:18 pm
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A(x)=\dfrac{x^6-2x^3+1}{x^4-2x^3+x^2} , x>0$

Αν είναι δυνατόν , χωρίς χρήση παραγώγων παρακαλώ

Εκτελούμε τη διαίρεση πολυωνύμων και παίρνουμε

$\displaystyle A(x)= x^2+2x+3+\frac{2x^3+3x^2-1}{x^4-2x^3+x^2}= x^2+2x+3+\frac{(x-1)^2(2x+1)}{x^2(x-1)^2}=$

$\displaystyle x^2+2x+3+\frac{2x+1}{x^2}= x^2+2x+1+ \frac{x^2}{x^2}+\frac{2x+1}{x^2}+1=$

$\displaystyle (x+1)^2+\frac{(x+1)^2}{x^2}+1\geq 2\sqrt{\frac{(x+1)^4}{x^2}}+1=2\frac{x^2+2x+1}{x}+1=2(x+\frac{1}{x}+2)+1\geq 2(2+2)+1=9.$

H ισότητα για x=1

που λόγω περιορισμών δεν πιάνεται.

mathematica.gr

"Ελάχιστο"

"Ελάχιστο"

Re: "Ελάχιστο"

Re: "Ελάχιστο"