mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 10, 2022 8:46 am**

Η

η χιλιάδα θετικών ακεραίων αποτελείται από τους : 1-1000

, η

η από τους : 4001-5000

. κ.ο.κ.

α) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η

η χιλιάδα ;

β) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η

η χιλιάδα ;

γ) Ποια είναι η πρώτη χιλιάδα που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

δ) Ποια είναι η πρώτη τριάδα χιλιάδων που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 10, 2022 11:12 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 10, 2022 8:46 am
Η η χιλιάδα θετικών ακεραίων αποτελείται από τους : , η η από τους : . κ.ο.κ.

α) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

β) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

γ) Ποια είναι η πρώτη χιλιάδα που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

δ) Ποια είναι η πρώτη τριάδα χιλιάδων που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

α) Είναι

οπότε τα τέλεια τετράγωνα $1^2,\, 2^2 ,\, 3^2,\, ... \, , \, 31^2$ και μόνον αυτά (

το πλήθος) είναι στην πρώτη χιλιάδα.

β) 89^2<8101 < 90^2 < 94^2 < 9000 < 95^2

οπότε τα τέλεια τετράγωνα $90^2,\, 91^2 ,\, 92^2,\, 93^2 , \, 94^2$ και μόνον αυτά τα πέντε είναι στην

η χιλιάδα.

γ) Θέλουμε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα $a^2,\, (a+1)^2$ να διαφέρουν κατά > 1000

. Άρα

, ισοδύναμα 2a+1 >1000

, δηλαδή

, που σημαίνει $\ge 500$ . Έλεγχος: 500^2 < 250001 < 251000 <501 ^2

, δηλαδή η 251

η χιλιάδα δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο.
Αν θέλουμε έναν ακόμη έλεγχο, κοιτάμε την προηγούμενη χιλιάδα, την 249001-250000

. Αυτή περιέχει τον 499^2

και τον

τα οποία τυχαίνει να είναι (ακριβώς) τα δύο άκρα της.

δ) 'Ομοια με το γ) αλλά με 3000

στην θέση του 1000

. Θα δώσει την τριάδα χιλιάδων από τον 2250001

έως

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 10, 2022 12:20 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 10, 2022 8:46 am
Η η χιλιάδα θετικών ακεραίων αποτελείται από τους : , η η από τους : . κ.ο.κ.

α) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

β) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

γ) Ποια είναι η πρώτη χιλιάδα που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

δ) Ποια είναι η πρώτη τριάδα χιλιάδων που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

Το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο της $n - o\sigma \tau \eta \varsigma$ χιλιάδας δίδεται από τη σχέση : $t\left( n \right) = \left[ {\sqrt {n \cdot {{10}^3}} } \right]$ .

Το σύμβολο $\left[ x \right]$ είναι ο πιο κοντινός από αριστερά ακέραιος στον πραγματικό αριθμό

( πιο αυστηρά $\left[ x \right] \leqslant x < \left[ x \right] + 1$ )

α) Έτσι για την 1η χιλιάδα , $t\left( 1 \right) = \left[ {\sqrt {1000} } \right] = 31$ άρα ευτή περιέχει τα τέλεια τετράγωνα των αριθμών , $1\,\,,2\,\,,...\,\,,31$

Για τη 2η $t\left( 2 \right) = \left[ {\sqrt {2000} } \right] = 44$ άρα αυτή περιέχει τα τέλεια τετράγωνα των $32,\,\,...\,\,,\,\,44$

Και γενικά : $\left( {n - 1} \right){10^3} < {\left( {t\left( n \right)} \right)^2} \leqslant n{10^3}$ ή $\boxed{10\sqrt {10\left( {n - 1} \right)} < t\left( n \right) \leqslant 10\sqrt {10n} }$ $\left( 1 \right)$

β) Για την 9η βρίσκω , $10\sqrt {80} < t\left( 9 \right) \leqslant 10\sqrt {90} \Rightarrow 89,4 < t\left( 9 \right) \leqslant 94,8$ , άρα αυτή περιέχει τα τέλεια τετράγωνα των $90,\,\,...\,\,,\,\,94$ δηλαδή

τέλεια τετράγωνα.

Με επιφύλαξη το γ)

Μέχρι και για n = 250

η $\left( 1 \right)$ επαληθεύεται ενώ για n = 251

είναι αδύνατη .

Δηλαδή η 251η χιλιάδα δεν έχει κανένα τέλειο τετράγωνο.

Το δ) δεν το έλυσα αλλά το έλυσε ο Κ. Λάμπρου ( και όλο το θέμα χωρίς δοκιμές! )

Βεβαίως τις δοκιμές τις κάνει κάποιο λογιστικό φύλλο, π.χ. $Corel\,\,Quattro\,\,pro$ ή Excel

κ.λ.π

mathematica.gr

Πυκνότητα τελείων τετραγώνων

Πυκνότητα τελείων τετραγώνων

Re: Πυκνότητα τελείων τετραγώνων

Re: Πυκνότητα τελείων τετραγώνων