Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#221

Αυτό είναι η ουσία του ζητήματος που συζητείται:

Demetres έγραψε: Μετά που τα έγραψα όλα αυτά θυμήθηκα ότι υπάρχει και ένα τέταρτο ζήτημα. Τι εξυπηρετούν στις εξετάσεις τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος; Κατά την προσωπική μου άποψη τίποτα.

Θεωρώ ότι όλα τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις εξετάσεις πρέπει να ζητάνε και την δικαιολόγηση της απάντησης. Κάθε σωστή απάντηση με καθόλου ή με λανθασμένη δικαιολόγηση πρέπει να βαθμολογείται με 0.

Και από την ύπαρξη των θεμάτων σωστό λάθος χωρίς πλήρη αιτιολόγηση προκύπτουν όλες οι παρεξηγήσεις.
Καιρός να καταργηθούν.

apotin · #222

Demetres έγραψε:Μετά που τα έγραψα όλα αυτά θυμήθηκα ότι υπάρχει και ένα τέταρτο ζήτημα. Τι εξυπηρετούν στις εξετάσεις τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος; Κατά την προσωπική μου άποψη τίποτα.
Θεωρώ ότι όλα τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις εξετάσεις πρέπει να ζητάνε και την δικαιολόγηση της απάντησης. Κάθε σωστή απάντηση με καθόλου ή με λανθασμένη δικαιολόγηση πρέπει να βαθμολογείται με 0.

s.kap έγραψε:Και από την ύπαρξη των θεμάτων σωστό λάθος χωρίς πλήρη αιτιολόγηση προκύπτουν όλες οι παρεξηγήσεις.
Καιρός να καταργηθούν.

Συμφωνώ και στα δύο

Mr.Ore · #223

Θα ήθελα να ρωτήσω αν η λύση στο Δ1 με φερμάτ στο 0 είναι λάθος,αφού το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που θέτουμε είναι οι πραγματικοί αριθμοί.Στην περίπτωση αυτη πόσα μορια κόβονται;Επίσης στο όριο του Δ2,αν έχω βρει τη σωστή αντικατάσταση,και το όριο της συνάρτησης στο 0,έχοντας όμως αντικαταστήσει μόνο στο ημίτονο ,μπορώ να πάρω 1-2 μόρια;

Α.Κυριακόπουλος · #224

Demetres έγραψε: Θεωρώ ότι όλα τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις εξετάσεις πρέπει να ζητάνε και την δικαιολόγηση της απάντησης. Κάθε σωστή απάντηση με καθόλου ή με λανθασμένη δικαιολόγηση πρέπει να βαθμολογείται με 0.

Δημήτρη, παραθέτω τον επίλογο τις εισηγήσεις με θέμα:
«ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ»
που είχα κάνει στο συνέδριο της Μαθηματικής Εταιρείας, που έγινε στη Χαλκίδα το έτος 2010 εδώ:

11. Επίλογος
Αγαπητοί συνάδελφοι.
Η γνώμη μου είναι ότι οι ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» είναι πολύ καλές για αξιολόγηση γιατί συνδυάζουν γνώσεις, κριτική ικανότητα και λογική, με τις εξής όμως δύο προϋποθέσεις:
1) Να είναι κατασκευασμένες από ανθρώπους που έχουν βαθιά γνώση του αντικειμένου και κυρίως να γνωρίζουν Μαθηματική Λογική, ώστε να ξέρουν τη διαφορά μεταξύ μιας πρότασης και ενός προτασιακού τύπου. Έτσι, δεν θα παρουσιάζεται το απαράδεκτο φαινόμενο να δίνουν μια σχέση που άλλοτε ισχύει και άλλοτε δεν ισχύει και να ρωτάνε αν είναι «Σωστό» ή «Λάθος», που, όπως είδαμε παραπάνω, έχει συμβεί πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις και όχι μόνο. Αυτό προσβάλλει όχι μόνο τη Μαθηματική Λογική, αλλά και την κοινή Λογική. Η ερώτηση πρέπει να είναι τέτοια ώστε να επιδέχεται μονοσήμαντη απάντηση.
2) Να μην ζητάνε ως απάντηση ένα ξερό «Σ» ή ένα ξερό «Λ», αλλά στην εκφώνηση να λένε: Με δικαιολόγηση για το «Σωστό» και αντιπαράδειγμα για το «Λάθος». Έτσι, όχι μόνο οι μαθητές δεν θα μπορούν να απαντάνε στην τύχη, αλλά δεν θα είναι και εύκολο να αντιγράψουν.

parmenides51 · #225

Ρίξτε μια ματιά στα φετινά θέματα της Φυσικής των Πανελλαδικών εδώ στο θέμα Β' για την ακρίβεια.
Είναι ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής που βαθμολογείται ελάχιστα η σωστή επιλογή (2/100) αλλά ικανοποιητικά η αιτιολόγηση της (6/100).
Δεν θα μπορούσε να γίνει κάτι ανάλογο στο θέμα Α' της θεωρίας στα Μαθηματικά?
Δηλαδή μαζί με την απόδειξη ή τον ορισμό αντί για τα ξερά Σ-Λ και πολλαπλής επιλογής, να μπουν ερωτήσεις Σ-Λ και πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση έτσι ώστε να προάγεται η κριτική σκέψη κι όχι η φωτογραφική απομνημόνευση του αντίστοιχου εδαφίου στο σχολικό βιβλίο και να αναρωτιόμαστε κάθε φορά εαν το σχολικό είχε ή όχι κόμμα στην διατύπωση αντί να συζητάμε το λογικό, που είναι κατά πόσο αυτό είναι μαθηματικά πλήρες (λείπει ή όχι κάποια προϋπόθεση);
Αντί να ασχολούμαστε με την ουσία των ερωτημάτων στα Σ-Λ, κάθε φορά ψάχνουμε το βιβλίο να δούμε πως το γράφει, έλεος πια ...

#226

Demetres έγραψε:Θέλω να καταθέσω και εγώ την άποψή μου σε σχέση με τα θέματα Σωστό-Λάθος. Θεωρώ ότι υπάρχουν τρία θέματα. Αυτό της κατανόησης, αυτό της μαθηματικής ορθότητας και ένα τρίτο που θα το ονόμαζα «καλής μαθηματικής γραφής». ............................

Θεωρώ λοιπόν ότι αν και (πολύ) αυστηρά ομιλούντες τα θέματα Σωστό-Λάθος όπως συνηθίζεται να αναγράφονται είναι λανθασμένα, κατά την ισχύουσα σύμβαση μαθηματικής γραφής δεν πρέπει να τίθεται θέμα (μη) ορθότητάς τους.

.....................

Σε μια εξέταση επομένως μεταπτυχιακών φοιτητών στο μάθημα της λογικής , ο καθηγητής δίκαια θα αφαιρούσε μονάδες και από το φοιτητή αλλά και από τον.... προτείνοντα.

Σε επίπεδο σχολείου, θεωρώ ότι τα πράγματα πρέπει να διατηρήσουν την παραδοσιακή τους μορφή ,είτε με την αναγραφή του ποσοδείκτη ''για κάθε'', είτε όχι.
Άλλωστε, χωρίς ποσοδείκτη δεν έχουμε μαθηματική πρόταση, οπότε δεν έχουμε τίποτα για να χαρακτηρίσουμε ως σωστό ή λάθος.Αυτός λοιπόν πρέπει να εκλαμβάνεται ως δεδομένος, είτε δίνεται είτε όχι.

Μια τέτοια αποδοχή σε τίποτα δε θα βλάψει την ουσία της μαθηματικής γνώσης , ούτε αποτελεί έκπτωση σε αυτό που λέμε μαθηματική ορθότητα ή μαθηματική αυστηρότητα.Ας μην ξεχνάμε ότι οι μαθητές , όπως και κάθε άνθρωπος , καταλαβαίνει πολύ καλά τη φυσική του γλώσσα και δεν υπάρχει κανένας λόγος, όπου δεν υπάρχει σοβαρός επιστημονικός λόγος, να κάνουμε διάκριση των δύο αυτών γλωσσών.

Μπάμπης

thymgreg · #227

Στο θέμα των ποσοδεικτών να προσθέσω ότι δεν αρκεί να μπει ο κατάλληλος ποσοδείκτης, αλλά ότι πρέπει και να προσέξουν που θα μπει.

π.χ. στο κατα τη γνώμη μου απαράδεκτο περσινό ερώτημα μαθηματικών γενικής "για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)

"
το να βάζαν τον ποσοδείκτη εκεί που τον υπονόησαν θα χειροτέρευε τα πράγματα.

Ας πάψει να κυριαρχεί ή η προχειρότητα ή η άγνοια στα θέματα!

Mr.Ore · #228

Mr.Ore έγραψε:Θα ήθελα να ρωτήσω αν η λύση στο Δ1 με φερμάτ στο 0 είναι λάθος,αφού το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που θέτουμε είναι οι πραγματικοί αριθμοί.Στην περίπτωση αυτη πόσα μορια κόβονται;Επίσης στο όριο του Δ2,αν έχω βρει τη σωστή αντικατάσταση,και το όριο της συνάρτησης στο 0,έχοντας όμως αντικαταστήσει μόνο στο ημίτονο ,μπορώ να πάρω 1-2 μόρια;

Oποιος μπορεί ας μου απαντήσει κυρίως για το φερμάτ.
Ευχαριστω!

varv19 · #229

Mr.Ore έγραψε:
Mr.Ore έγραψε:Θα ήθελα να ρωτήσω αν η λύση στο Δ1 με φερμάτ στο 0 είναι λάθος,αφού το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που θέτουμε είναι οι πραγματικοί αριθμοί.Στην περίπτωση αυτη πόσα μορια κόβονται;Επίσης στο όριο του Δ2,αν έχω βρει τη σωστή αντικατάσταση,και το όριο της συνάρτησης στο 0,έχοντας όμως αντικαταστήσει μόνο στο ημίτονο ,μπορώ να πάρω 1-2 μόρια;
Oποιος μπορεί ας μου απαντήσει κυρίως για το φερμάτ.
Ευχαριστω!

Αγαπητέ Mr.Ore η συγκεκριμένη αστοχία στο Fermat δε νομίζω να σου κοστίσει κάτι. Από τη στιγμή που η άσκηση συνεχίζεται με ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και με το Fermat στο 1 δεν υπάρχει λόγος να ανησυχείς.

paylos · #230

Μια άλλη εκδοχή για το Δ1.

Για κάθε x > 0 είναι $\int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}} dt + e \ne 0$ οπότε αν θέσουμε $\Phi \left( x \right) = \int_1^x {\frac{\ln t - t}{f(t)} \,dt + e$ , x > 0

έχουμε

$f\left( x \right) = \frac{{\ln x - x}}{{\Phi \left( x \right)}}$ x > 0.

Η f είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων και

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime \Phi \left( x \right) - \left( {\ln x - x} \right)\Phi '\left( x \right)}}{{\Phi ^2 \left( x \right)}} = \\ \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime \Phi \left( x \right) - \left( {\ln x - x} \right)\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}}}}{{\Phi ^2 \left( x \right)}} = \\ \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\Phi \left( x \right)}} - \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^2 }}{{f\left( x \right)\Phi ^2 \left( x \right)}} = \frac{{\left( {\ln x - x} \right) ^\prime }}{{\Phi \left( x \right)}} - \left[ {\frac{{\left( {\ln x - x} \right)}}{{\Phi \left( x \right)}}} \right]^2 \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \\ \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\Phi \left( x \right)}} - \frac{{f^2 \left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\Phi \left( x \right)}} - f\left( x \right) = \frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}}}} - f\left( x \right) = \\ f\left( x \right)\frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\ln x - x}} - f\left( x \right) = f\left( x \right)\left[ {\frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\ln x - x}} - 1} \right]. \\ \end{array}$

Άρα $\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \left[ {\frac{{\left( {\ln x - x} \right)^\prime }}{{\ln x - x}} - 1} \right] \Leftrightarrow \left( {\ln \left| {f\left( x \right)} \right|} \right)^\prime = \left( {\ln \left| {\ln x - x} \right| - x} \right)^\prime$

$\ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \left| {\ln x - x} \right| - x + c$

Για x = 1 έχουμε c = 0 οπότε $\begin{array}{l} \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \left| {\ln x - x} \right| - x \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \left| {\ln x - x} \right| - \ln e^x \Leftrightarrow \\ \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \frac{{\left| {\ln x - x} \right|}}{{e^x }} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{\left| {\ln x - x} \right|}}{{e^x }} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\ln x - x}}{{e^x }} \\ \end{array}$

,αφού είναι $f\left( x \right) < 0{\rm{ \kappa \alpha \iota lnx - x < 0}}$

k-ser · #231

paylos έγραψε:Μια άλλη εκδοχή για το Δ1.

Είναι μια λύση, την οποία φαντάζομαι θα επέλεξαν αρκετοί μαθητές με δεδομένο ότι "δουλεύουν" αρκετές ασκήσεις μ' αυτό τον τρόπο.

Mr.Ore έγραψε:
Mr.Ore έγραψε:Θα ήθελα να ρωτήσω αν η λύση στο Δ1 με φερμάτ στο 0 είναι λάθος,αφού το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που θέτουμε είναι οι πραγματικοί αριθμοί.Στην περίπτωση αυτη πόσα μορια κόβονται;Επίσης στο όριο του Δ2,αν έχω βρει τη σωστή αντικατάσταση,και το όριο της συνάρτησης στο 0,έχοντας όμως αντικαταστήσει μόνο στο ημίτονο ,μπορώ να πάρω 1-2 μόρια;
Oποιος μπορεί ας μου απαντήσει κυρίως για το φερμάτ.
Ευχαριστω!

Θεωρώ ότι η διατύπωση του δεδομένου της ανισότητας, αν και δεν είναι η καλύτερη, αφήνει να καταλάβουμε ότι η ανισότητα ισχύει για τα θετικά

.

Από 'κει και πέρα, η σχέση ισχύει, προφανώς, με το ίσον και στο

και,
για τη συνάρτηση που τελικά προκύπτει, μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει και για τα αρνητικά

και θα μπορούσε να είναι ένα καλό ζητούμενο του θέματος.
Αυτό όμως, το ότι ισχύει και για τα αρνητικά

δεν μπορούμε να το δείξουμε αν δεν βρούμε την συνάρτηση, ή, τουλάχιστον, την τιμή της στο

και τη μονοτονία της.

Συνεπώς, η εφαρμογή του Fermat στο

είναι λανθασμένη
είτε γιατί το

είναι άκρο του διαστήματος $[0,+\infty)$ όπου ορίζουμε τη συνάρτηση και για την οποία η ανισότητα ισχύει.
είτε, αν ορίσουμε τη συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ , δεν γνωρίζουμε ότι στο

έχει ακρότατο, αφού δεν μπορούμε να δείξουμε την ανισότητα για τα αρνητικά

.

Για τη βαθμολόγηση, μια υπόθεση μόνο:
Αν οι βαθμολογητές αποφασίσουν να δώσουν 2 μονάδες για την σωστή εφαρμογή του Fermat, στη θέση

, λογικά θα δώσουν 0 ή 1 μονάδες για την λάθος εφαρμογή στη θέση

.
Για το Δ2 δεν κατάλαβα τι έκανες.

Mr.Ore · #232

Μα από τη στιγμή,που η συνάρτηση,που θεωρούμε ορίζεται στο $\mathbb{ R}$ δεν καταλαβαίνω,γιατί ειναί λάθος το φερμάτ στο 0.Η εκφώνηση δεν ξεκαθάριζε,αν ίσχυε η σχέση για x>0

.
Στο όριο βρήκα την σωστή αντικατάσταση και το όριο της

.

k-ser · #233

Πρόσεξε. Τη συνάρτηση μπορεί να την ορίσουμε στο $\displaystyle \mathbb{R}$ , όμως το δεδομένο της ανισότητας δεν έχουμε δικαίωμα να το χρησιμοποιήσουμε στο $\displaystyle \mathbb{R}$ .

Όταν γράφουμε:

"Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle \bf{f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}}$ , η οποία για κάθε $\displaystyle \bf x>0$ ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle \bf {\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}\ge \frac{x-{{x}^{2}}}{e}}$ "

θα κάνουμε λάθος αν θεωρήσουμε ότι η σχέση ισχύει για τα $\displaystyle \bf x \in \mathbb{R}$ .

Αν έκανες αυτό το λάθος, τι να πω!
Εντάξει, καλό είναι δίπλα στην ανισότητα να γράφουμε τις τιμές της μεταβλητής που την ικανοποιούν, μα όταν είναι πολλές η σχέσεις και ισχύουν για τις ίδιες τιμές μπορούμε να το γράψουμε και στην αρχή, όπως κάνουν εδώ οι θεματοδότες.

#234

Μερικά σχόλια για το Δ1.
Εκτός από Σ-Λ (που δεν είναι λύση η κατάργηση τους ), έχουμε και στις εκφωνήσεις των ασκήσεων τέτοια προβλήματα .
Π.χ το ερώτημα (ΘΕΜΑ Δ1 2012)

Έστω η συνεχής συνάρτηση ⟶ η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις:
•
• $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}\ge \frac{x-{{x}^{2}}}{e}$
• $\ell nx-x=-\left( \int_{1}^{x}{\frac{\ell nt-t}{f(t)}dt+e} \right)\cdot \left| f(t) \right|$

Εδώ η αναφορική αντωνυμία, <<η οποία>> εισάγει την δευτερεύουσα πρόταση <<για κάθε x>0

ικανοποιεί τις σχέσεις>> και την συνδέει με τη λέξη << συνάρτηση>> .
Με απλά λόγια η συνάρτηση (για χ>0) ικανοποίει τις σχέσεις......... Και όχι, για κάθε x>0 ικανοποιούνται οι σχέσεις..... .
Ποιος να έχει δίκιο ;;
Όλα τα παραπάνω θα μπορούσαν να αποφευχθούν και να γραφτούν απλά ως εξής:

Έστω η συνεχής συνάρτηση ⟶
Ακόμη για κάθε ικανοποιούνται οι σχέσεις:
•
• $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}\ge \frac{x-{{x}^{2}}}{e}$
• $\ell nx-x=-\left( \int_{1}^{x}{\frac{\ell nt-t}{f(t)}dt+e} \right)\cdot \left| f(t) \right|$

ή με διαφορετικό νόημα

Έστω η συνεχής συνάρτηση ⟶ για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
•
• $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}\ge \frac{x-{{x}^{2}}}{e}$
• $\ell nx-x=-\left( \int_{1}^{x}{\frac{\ell nt-t}{f(t)}dt+e} \right)\cdot \left| f(t) \right|$

Πρέπει τα ερωτήματα να διατυπώνονται σε απλή γλώσσα και να μην έχουν ως στόχο να μπερδεύουν τους αναγνώστες .
Και επίσης ο ερωτών να μην έχει μόνο την δική του απάντηση στο μυαλό του και να γνωρίζει σε ποιό κοινό απευθύνεται.

Εννοείται βέβαια ,ότι καλύτερο ήταν, να θεωρήσουμε συνάρτηση για x>0

και να ξεμπερδεύαμε.

Αν λοιπόν ένας μαθητής δώσει στο Δ1 την παρακάτω απάντηση με Fermat για x=0,

τότε πρέπει να πάρει όλες τις μονάδες του ερωτήματος .

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το $\left( 0,+\infty \right)$ .
Για να ορίζεται η $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}$
πρέπει το ${{x}^{2}}-x+1\in \left( 0,+\infty \right)$ αφού το $1\in \left( 0,+\infty \right)$ πράγμα που ισχύει για κάθε $x\in R$
Άρα η συνάρτηση $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}$ έχει πεδίο ορισμού το .Στο επίσης ορίζεται η $\frac{x-{{x}^{2}}}{e},x\in (-\infty ,+\infty )$ .

Άρα η ανισωση οριζεται για κάθε $x\in R$

Θεωρούμε συνάρτηση $g(x)=\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f}(t)dt-\frac{x-{{x}^{2}}}{e},x\in (-\infty ,+\infty )$ .

Από την υπόθεση έχουμε ότι: $g(x)\ge 0\Leftrightarrow g(x)\ge g(0)$ για κάθε $x\in (-\infty ,+\infty )$ , οπότε η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για , οπότε παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για .
H συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(-\infty ,+\infty )$ (ως διαφορά συνεχών και πα-ραγωγίσιμων συναρτήσεων), παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για που είναι εσωτερικό σημείο του ${{A}_{g}}=(-\infty ,+\infty )$ , οπότε από το θεώρημα του Fermat έχουμε ότι .
Όμως: $g'(x)=f({{x}^{2}}-x+1)(2x-1)-\frac{1-2x}{e}$ , οπότε $g'(0)=f(1)+\frac{1}{e}$
και αφού , έχουμε ότι: $f(1)+\frac{1}{e}=0\Leftrightarrow f(1)=-\frac{1}{e}\,\,\,(1)$ .

Γιατί δείχνει ότι κατέχει το αντικείμενο.

Αν όμως θεωρήσει συνάρτηση $g(x)=\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f}(t)dt-\frac{x-{{x}^{2}}}{e},x\in [0 ,+\infty )$ .
Και εφαρμόσει Fermat για χ=0, τότε δεν δικαιούται καμία μονάδα .

nikkru · #235

Στα ερωτήματα Β3 και Β4 δικαιολόγηση μόνο με τη βοήθεια σχήματος θεωρείται σωστή;
Αν όχι, πόσα μόρια μπορεί να πάρει μια τέτοια λύση;

STOPJOHN · #236

Kαλημέρα ,η απάντηση είναι σωστή με το σχήμα ΑΛΛΑ να γράψεις τι παρατηρείς με ανισόισότητες ........αν δεν το έγραψες ....ο βαθμολογητής......θα δώσει κάποιες μονάδες ....
Γιάννης

simossid · #237

Εγώ προσωπικά σημείωσα στο Β.3 τις κορυφές της έλλειψης και είπα πως είναι γνωστό πως η μεγαλύτερη απόσταση είναι η τάδε και η μικρότερη η τάδε. Αποτελούν διδακτέα ύλη της Β λυκείου, δε νομίζω να έχω πρόβλημα, έτσι;

killbill · #238

Διαβάζοντας την εναλλακτική λύση για το Δ3 από τις απαντήσεις που δημοσιεύτηκαν από το mathematica.gr (στην τελευταία σελίδα του αρχείου MATHEMATICA GR Μαθ κατευθ 2012 Θέματα-Λύσεις_(3η έκδοση από LaTeX)), έχω μια παρατήρηση:

αναφέρεται ότι η εφαπτομένη στο σημείο 2x_0

είναι η

.
Δεν καταλαβαίνω που βρέθηκε το

μπροστά από το F'(2x_0 )

Αν δεν κάνω λάθος, αν γενικά y(x) = f(x_0 ) + f'(x_0 )(x - x_0 ) (1)

η εξίσωση εφαπτομένης στο x_0

τότε η εξίσωση εφαπτομένης στο kx_0

θα είναι

και όχι

. Δηλαδή για τον υπολογισμό της κλίσης στο σημείο kx_0

δεν νομίζω ότι παραγωγίζουμε την σύνθεση [f(kx)]'

και στη συνέχεια θέτουμε x=x_0

, αλλά απλά θέτουμε στην εξίσωση (1)

της εφαπτομένης όπου x_0

το σημείο στο οποίο θέλουμε την εφαπτομένη.

Στη συγκεκριμένη λύση φαίνεται δηλαδή ότι έχει παραγωγιστεί η σύνθεση [f(2x)]'

και στη συνέχεια λάβαμε την τιμή στο x_0

, κάτι που δεν νομίζω ότι είναι σωστό.

βέβαια το παραπάνω δεν επηρεάζει στο να βρούμε το σωστό αποτέλεσμα αφού ο όρος απλοποιείται τελικά.

ευχαριστώ

killbill · #239

μπορεί κανείς να απαντήσει για το παραπάνω?
φοβάμαι μήπως εγώ κάνω κάπου λάθος....

ευχαριστώ

#240

killbill έγραψε:Διαβάζοντας την εναλλακτική λύση για το Δ3 από τις απαντήσεις που δημοσιεύτηκαν από το mathematica.gr (στην τελευταία σελίδα του αρχείου MATHEMATICA GR Μαθ κατευθ 2012 Θέματα-Λύσεις_(3η έκδοση από LaTeX)), έχω μια παρατήρηση:

αναφέρεται ότι η εφαπτομένη στο σημείο είναι η
.
Δεν καταλαβαίνω που βρέθηκε το μπροστά από το

Αν δεν κάνω λάθος, αν γενικά η εξίσωση εφαπτομένης στο τότε η εξίσωση εφαπτομένης στο θα είναι και όχι . Δηλαδή για τον υπολογισμό της κλίσης στο σημείο δεν νομίζω ότι παραγωγίζουμε την σύνθεση και στη συνέχεια θέτουμε , αλλά απλά θέτουμε στην εξίσωση της εφαπτομένης όπου το σημείο στο οποίο θέλουμε την εφαπτομένη.

Στη συγκεκριμένη λύση φαίνεται δηλαδή ότι έχει παραγωγιστεί η σύνθεση και στη συνέχεια λάβαμε την τιμή στο , κάτι που δεν νομίζω ότι είναι σωστό.

βέβαια το παραπάνω δεν επηρεάζει στο να βρούμε το σωστό αποτέλεσμα αφού ο όρος απλοποιείται τελικά.

ευχαριστώ

killbill

η παρατήρησή σου είναι σωστή. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο 2x_0

είναι η

και όχι η $y(x) = F(2x_0 ) + {\color{red}2}\,F'(2x_0 )(x - 2x_0 )$ .
Πρόκειται για τυπογραφικό λάθος και σε ευχαριστούμε για την παρατήρηση. Θα φροντίσουμε να το διορθώσουμε. (Το ίδιο τυπογραφικό εμφανίζεται και στην έκδοση από το word.)

Υ.Γ. Συγγνώμη για την καθυστερημένη απάντηση αλλά, προσωπικά, μόλις τώρα είδα την δημοσίευση.

edit: 6/9/2012, 12:44 Διορθώθηκε το τυπογραφικό λάθος στην έκδοση του $\color{dred}\LaTeX$

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση