ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

#161

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 46

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $\displaystyle{f(x)>2x\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}dt}}$ . Δείξτε οτι

1) η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\frac{\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}}dt}{x^2+1}}$ είναι γνήσια αύξουσα

2) $\displaystyle{\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}dt}>0, x>0}$

3)

4) $\displaystyle{\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}}dt>\frac{x^2+1}{2}\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}}dt, x>1}$

5) όταν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)}$ τότε ισούται με $+\infty$

...Καλημέρα επισυνάπτω οδηγίες του υπουργείου για το παραπάνω θέμα...

[attachment=0]ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ.docx[/attachment]

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #162

Η σχέση 4) είναι αντιφατική με την 2)
Υπάρχει τυπογραφικό;

M.S.Vovos · #163

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Η σχέση 4) είναι αντιφατική με την 2)
Υπάρχει τυπογραφικό;

K. Σταύρο, αν δεν απαντάει στην ερώτηση σας, μάλλον δεν θα την έχει δει. Καλύτερα, να του στείλετε προσωπικό μήνυμα.

Φιλικά,
Μάριος

#164

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 46

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $\displaystyle{f(x)>2x\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}dt}}$ . Δείξτε οτι

1) η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\frac{\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}}dt}{x^2+1}}$ είναι γνήσια αύξουσα

2) $\displaystyle{\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}dt}>0, x>0}$

3)

4) $\displaystyle{\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{t^2+1}}dt>\frac{x^2+1}{2}\int_{0}^{{\color{red}1}}{\frac{f(t)}{t^2+1}}dt, x>1}$

5) όταν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)}$ τότε ισούται με $+\infty$

Στο 4, εικάζω ότι είναι όπως παραπάνω...

Στο 5, ακόμα καλύτερα δείξτε ότι υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)}$ και υπολογίστε το.

erxmer · #165

'Εγινε διόρθωση στο θέμα 46. Σας ευχαριστώ για τα σχόλια σας.

ΈφηΚα · #166

Αγαπητά, μέλη.

Αν και δεν είχα λογαριασμό εδώ, παρακολουθώ το mathematica.gr με μεγάλο ενδιαφέρον!

Είμαι μαθήτρια της γ' λυκείου. Έχω κολλήσει στην άσκηση 47. Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει. Γενικά, έχω πρόβλημα σε όλα τα ερωτήματα

.

#167

ΈφηΚα έγραψε: Είμαι μαθήτρια της γ' λυκείου. Έχω κολλήσει στην άσκηση 47. Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει. Γενικά, έχω πρόβλημα σε όλα τα ερωτήματα .

Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Ελπίζω να το απολαύσεις.

Όσο για το ότι έχεις κολλήσει στην Άσκηση 47, ΔΕΝ ΘΑ ΑΝΗΣΥΧΟΥΣΑ ΚΑΘΟΛΟΥ.

Ασκήσεις σαν και αυτή είναι ιδιαίτερα επιτιδευμένες και άκομψες. Δυστυχώς εμφανίζονται ΜΟΝΟ στην ελληνική βιβλιογραφία. Έχουμε παγκόσμια πρωτιά. Πέρα από την κακή διατύπωση (λείπουν οι ποσοδείκτες σε τρία σημεία) έχουμε για πολλοστή φορά επανάληψη του ιδίου φαινομένου. Π.χ. είχα αναφερθεί σε αυτό το φαινόμενο εδώ αλλά ο θεματοθέτης τήρησε σιγήν.

Για να γίνω σαφέστερος. Δείξε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις που ικανοποιούν τα

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 47

... , με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και σύνολο τιμών το $(0,+\infty )$ . Αν ισχύουν:

...

$\displaystyle \ast f(x)^{g(x)}=2x-f(x)$ .

$\displaystyle \ast f(x)\neq f(f(x))$ .

Υπόδειξη: Ποιο από όλα ισχύει, f(1)>1

, μήπως

ή

;

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

M.S.Vovos · #168

Κ. Λάμπρου, έχετε δίκιο.

Απλά, ήθελα να δείξω μια θεωρητική άσκηση. Μάλλον, δε τα καταφέρνω πολύ καλά ακόμη με την δημιουργία αυτών.

Δε ξέρω, θα τη διαγράψω.

Να' στε καλά, να μας διορθώνεται!

Έφη, συγγνώμη ειλικρινά αν σε ταλαιπώρησα και σένα και τον κ. Σταύρο. Θα επανέλθω με καλύτερη άσκηση. Αυτή πάει στα σκουπίδια δυστυχώς.

Υ.Γ. Μόλις έλαβα ως δώρο, το βιβλίο σας με επαναληπτικά θέματα γ' λυκείου κ. Μιχάλη. Έχω πάθει την πλάκα μου, για να το πω λαϊκά! Τα θέματα που είναι εδώ είναι πρωτότυπα και σπάνια.

Φιλικά,
Μάριος

M.S.Vovos · #169

Λοιπόν, μια άσκηση που μου άρεσε πολύ.

Είναι από το βιβλίο του κ. Λάμπρου.

ΑΣΚΗΣΗ 47

Δύο κινητά A,B

κινούνται πάνω στο πραγματικό άξονα. Ο χρόνος μετριέται σε δευτερόλεπτα και η θέση τους σε μέτρα. Αρχίζουμε να τα παρατηρούμε από τη χρονική στιγμή t=0

. Τη χρονική στιγμή

το

βρίσκεται στη θέση $\displaystyle a(t)=t^{3}-\frac{17}{2}t^{2}+21t-11$ , ενώ το

στη θέση $\displaystyle \beta (t)=-\frac{1}{2}t^{2}+2t+1$ . Αν τα δύο κινητά βρεθούν την ίδια χρονική στιγμή στο ίδιο σημείο κινούμενα προς την ίδια κατεύθυνση, τότε θα λέμε ότι το ταχύτερο κατ' απόλυτη τιμή προσπερνάει το αργό, ενώ αν κατευθύνονται αντίθετα θα λέμε ότι συγκρούονται.

α) Να βρείτε πότε τα κινητά θα συναντηθούν.

β) Να βρείτε πόσα προσπεράσματα θα πραγματοποιηθούν, ποιο κινητό θα προσπεράσει ποιο και πότε θα συγκρουστούν.

γ) Να βρείτε τη μεγαλύτερη μεταξύ τους απόσταση που δημιουργήθηκε κατά τη διάρκεια της παρατηρούμενης διαδρομής τους.

M.S.Vovos · #170

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14

Aφου θεωρείται η άσκηση μου ανύπαρκτη ,την αποσύρω .Τα πιο κάτω είναι δημοσίευση του Μαριο,Η 14 πότε λύθηκε ρε παιδιά.

Εγραψε 3/10/:Υπενθυμίζω, ότι η άσκηση 38 και 24 είναι άλυτες.
Τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos και Σάβ. Οκτ. 03, 2015 4:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά/ες συνολικά

K. dennys, η άσκηση δε θεωρήθηκε ποτέ ανύπαρκτη. Απλά, όταν έχουμε τόσες ασκήσεις, ξεχνάμε αυτές που είναι άλυτες. Επιπλέον, μέρος της άσκηση λύθηκε από τον κ. Κακαβά Βασίλη. Θεωρώ ότι θα έπρεπε να υπενθυμίσετε στο φάκελο ότι η άσκηση σας είναι άλυτη.

Μάριος

M.S.Vovos · #171

ΑΣΚΗΣΗ 48

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{x-a}\cdot (x-a)$ , με $a\in \mathbb{R}$ .

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)\geq -\frac{1}{e}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle f(x)=a^{3}-6a^{2}+11a-6$ , για κάθε $a\in \mathbb{R}$ .

γ) Να βρείτε το εμαδόν του χωρίου Ω, που περικλείται από τη $\displaystyle C_{f}$ και τις ευθείες x=-a

και

.

δ) Να βρείτε την τιμή του

, ώστε τα σημεία $\displaystyle A(a,f(a))$ , $\displaystyle B(1,f(2a))$ και $\displaystyle C(a+1,e^{a})$ , να είναι συνευθειακά.

M.S.Vovos · #172

Επαναφορά του φακέλου.

Αγαπητοί συνάδελφοι και μέλη του ,

θα ήθελα να σας παρακαλέσω να συνεχίσουμε τη συλλογή μας, ώστε να έχουν τα παιδιά ένα οργανωμένο "βιβλιαράκι" για διάβασμα με τις κατάλληλες και σωστά διατυπωμένες λύσεις. Όλοι, λίγο ή πολύ, μπορούμε να συνεισφέρουμε στο φάκελο, με ασκήσεις ή με λύσεις αυτών. Τονίζω, ότι το θέμα δεν είναι προσωπικό, αλλά συλλογικό.

Ευχαριστώ,
Μάριος

ΈφηΚα · #173

M.S.Vovos έγραψε:Επαναφορά του φακέλου.

Αγαπητοί συνάδελφοι και μέλη του ,

θα ήθελα να σας παρακαλέσω να συνεχίσουμε τη συλλογή μας, ώστε να έχουν τα παιδιά ένα οργανωμένο "βιβλιαράκι" για διάβασμα με τις κατάλληλες και σωστά διατυπωμένες λύσεις. Όλοι, λίγο ή πολύ, μπορούμε να συνεισφέρουμε στο φάκελο, με ασκήσεις ή με λύσεις αυτών. Τονίζω, ότι το θέμα δεν είναι προσωπικό, αλλά συλλογικό.

Ευχαριστώ,
Μάριος

Συμφωνώ απόλυτα κ. Μάριε, με τα λεγόμενα σας, σα μαθήτρια την περιμένω πως και πως τη συλλογή. Ας μην ξεχνάμε ότι κάποιοι από εμάς (τους μαθητές) δεν έχουν λεφτά για βοηθήματα!

Tolaso J Kos · #174

Άσκηση 49

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο x_0=0

με

και $\kappa \in \mathbb{N}$ . Να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} [f(x)+f(2x)+\cdots +f(\kappa x)]}$ .

Άσκηση 50
Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)= \ln x , \;\; x \in (0, +\infty)$ δεν είναι ρητή.

Άσκηση 51

Να υπολογίσετε τη τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{e^x+1}\, {\rm d}x}$ .

Tolaso J Kos · #175

Άσκηση 52 (αν και πολύ απλή τη βάζω μόνο και μόνο για ένα σημείο)

Έστω $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f(x)\leq \frac{f(0)+f(1)}{2}, \;\; \forall x \in [0, 2]}$ . Να δείξετε ότι η

έχει δύο κρίσιμα σημεία (και να τα προσδιορίσετε) και ένα πιθανό σημείο καμπής.

Ας αφήσουμε λίγο χρόνο στους μαθητές. Όσοι την γνωρίζουν , ας μη βιαστούνε να απαντήσουνε.

raf616 · #176

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 51

Να υπολογίσετε τη τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{e^x+1}\, {\rm d}x}$ .

Γεια σου Τόλη! Μία προσπάθεια:

Θέτοντας x = -y

παίρνουμε $\displaystyle{J = \int_{\pi/2}^{-\pi/2} \frac{\cos (-y)}{e^-y+1} (-dy) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{e^x \cos x}{e^x + 1} dx}$

Άρα $\displaystyle{2J = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{e^x+1} dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{e^x \cos x}{e^x + 1} dx = \displaystyle{\int_{\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{(e^x + 1) \cos x}{e^x + 1} dx = \int_{\pi/2}^{\pi/2} \cos x = [\sin x}]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2}$ και άρα J = 1

.

raf616 · #177

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 49

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο με και $\kappa \in \mathbb{N}$ . Να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} [f(x)+f(2x)+\cdots +f(\kappa x)]}$ .

Μία προσπάθεια για αυτήν, με επιφυλάξεις:

Έστω τυχαίο

. Θα δείξω $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\dfrac{f(nx)}{x} = nf'(0)}$ .

Έστω g(x) = f(nx)

. Τότε $g'(0) = \displaystyle{\lim_{x\to 0} \dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \dfrac{f(nx)}{x}}$ .

Όμως g'(x) = nf'(nx)

και άρα

και έτσι ο ισχυρισμός έπεται.

Εύκολα τώρα το ζητούμενο είναι $\dfrac{\kappa(\kappa+1)f'(0)}{2}$ .

#178

Ας κάνω άλλη μια παρέμβαση στην ωραία προσπάθεια του Μάριου. Δεν έχω χρόνο να ξανακάνω μια ψύχραιμη λύση, τη βάζω ...ζεστή από το φούρνο , για αυτό αν κάτι δεν πάει καλά, με ένα μήνυμα θα το φτιάξουμε.Θα την δω και γω ξανά πιο αργά.

ΑΣΚΗΣΗ 53

Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$ , η αρχική

της

, ώστε

και $f:R\to R$ η αρχική της

με

.

α) Να αποδείξετε ότι η

είναι κυρτή και f(1)+f(3)>2f(2)

β) Να βρείτε το πρόσημο της

και να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία.

γ) Να αποδείξετε ότι το $- \frac{1}{2}\ln 2$ είναι ελάχιστο της

.

δ) Να βρείτε το όριο $L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{x}^{x+1}{g(t)dt}$ και να αποδείξετε ότι $G(\varepsilon \varphi x)=x-\frac{\pi }{4}$ , για κάθε $x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$

ε) Να αποδείξετε ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x+1)-f(x) \right)=\frac{\pi }{4}$ .

Μπάμπης

(Άλλαξα τον αριθμό της άσκησης, όπως υπέδειξε ο Τόλης , που τον ευχαριστώ)

M.S.Vovos · #179

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$ , η αρχική της , ώστε και $f:R\to R$ η αρχική της με .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή και

Ισχύει $\displaystyle f''(x)=g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}>0$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , άρα η

είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ .

Τώρα, αφού η

είναι κυρτή, ισχύει η ανισότητα Jensen (*). Άρα:

$\displaystyle f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )<\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ , με $x_{1}\neq x_{2}$ .

Για $x_{1}=1$ και $x_{2}=3$ , έχουμε:

$\displaystyle f\left ( \frac{1+3}{2} \right )<\frac{f(1)+f(3)}{2}\Leftrightarrow 2f(2)<f(1)+f(3)$ , που είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη (*)

Δύο Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα $\displaystyle \left [ x_{1},\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right ]$ και $\displaystyle \left [ \frac{x_{1}+x_{2}}{2},x_{3} \right ]$ και μονοτονία της

.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: β) Να βρείτε το πρόσημο της και να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.

Για κάθε

και επειδή η

είναι κυρτή, άρα η

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , έχουμε:

$\displaystyle x>1\Leftrightarrow f'(x)>f'(1)$

Όμως, ισχύει G(x)=f'(x)

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , επομένως:

$G(x)>G(1)\Leftrightarrow G(x)>0$ .

Για κάθε x>1

, έχουμε:

$G(x)<G(1)\Leftrightarrow G(x)<0$ . Επομένως:

Ισχύει και f'(x)>0

, για κάθε x>1

και

, για κάθε x<1

και επειδή η συνάρτηση

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , έπεται ότι:

H

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(1,+\infty )$ και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(-\infty ,1)$ .

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: γ) Να αποδείξετε ότι το $- \frac{1}{2}\ln 2$ είναι ελάχιστο της .

Από το προηγούμενο ερώτημα η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο M(1,f(1))

.

Άρα, πρέπει να βρούμε το f(1)

, το οποίο δε βλέπω πως μπορεί να υπολογιστεί λυκειακά, τουλάχιστον όχι αυτή την ώρα.

Φιλικά,
Μάριος

#180

Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$ , η αρχική της , ώστε και $f:R\to R$ η αρχική της με .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή και

β) Να βρείτε το πρόσημο της και να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.

γ) Να αποδείξετε ότι το $- \frac{1}{2}\ln 2$ είναι ελάχιστο της .

δ) Να βρείτε το όριο $L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{x}^{x+1}{g(t)dt}$ και να αποδείξετε ότι $G(\varepsilon \varphi x)=x-\frac{\pi }{4}$ , για κάθε $x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$

ε) Να αποδείξετε ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x+1)-f(x) \right)=\frac{\pi }{4}$ .

Μπάμπης

...μιά αντιμετώπιση για τα (δ), (ε) μιά και για το (γ) Μπάμπη μάλλον πρέπει να το φτιάξουμε....

δ) Η συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$ είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=-\frac{2x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}$ οπότε ${g}'(x)<0,\,\,\,\,x>0$

δηλαδή η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,\,+\infty )$ επομένως με $0<x\le t\le x+1$ ισχύει ότι $g(x)\ge g(t)\ge g(x+1)$

και ολοκληρώνοντας προκύπτει ότι

$\int\limits_{x}^{x+1}{g(x)dt}\ge \int\limits_{x}^{x+1}{g(t)dt}\ge \int\limits_{x}^{x+1}{g(x+1)dt}$ ή

$g(x+1)\int\limits_{x}^{x+1}{dt}\le \int\limits_{x}^{x+1}{g(t)dt}\le g(x)\int\limits_{x}^{x+1}{dt}$ ή

$g(x+1)\le \int\limits_{x}^{x+1}{g(t)dt}\le g(x)$

και επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x+1)=0$

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι $L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{x}^{x+1}{g(t)dt}=0$

Τώρα για την $h(x)=G(\varepsilon \varphi x)-x+\frac{\pi }{4}$ για κάθε $x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$ είναι παραγωγίσιμη με

${h}'(x)={G}'(\varepsilon \varphi x)(\varepsilon \phi x{)}'-1=g(\varepsilon \varphi x)(1+\varepsilon {{\varphi }^{2}}x)-1=0$

άρα είναι σταθερή στο $\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$ και επειδή $h(\frac{\pi }{4})=G(1)-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=0$

ισχύει ότι $h(x)=0\Leftrightarrow G(\varepsilon \varphi x)=x-\frac{\pi }{4}$

ε) Επειδή $f:R\to R$ η αρχική της

με

είναι $f(x+1)-f(x)=\int\limits_{x}^{x+1}{G(t)dt}$

άρα θέλουμε το όριο $L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{x}^{x+1}{G(t)dt}$ .

Τώρα αφού ${G}'(x)=g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}>0$ ή

είναι γνήσια αύξουσα στο

επομένως

με $0<x\le t\le x+1$ ισχύει ότι $G(x)\le G(t)\le G(x+1)$ και ολοκληρώνοντας προκύπτει ότι $G(x)\le \int\limits_{x}^{x+1}{G(t)dt}\le G(x+1)$ (2)

Τώρα από $G(\varepsilon \varphi x)=x-\frac{\pi }{4},\,\,\,x\in \left( -\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2} \right)$ υπάρχει το όριο και είναι

$\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( G(\varepsilon \varphi x) \right)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$ επίσης με $u=\varepsilon \phi x$

όταν $x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}$ το $u\to +\infty$ άρα $\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( G(\varepsilon \varphi x) \right)=\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,G(u)$

επομένως είναι $\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,G(u)=\frac{\pi }{2}$ και λόγω αυτού και

$\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,G(u+1)=\frac{\pi }{2}$ και λόγω του κριτηρίου παρεμβολής από (2)

είναι $L=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{x}^{x+1}{G(t)dt}=\frac{\pi }{4}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση