Σελίδα 1 από 1

Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 17, 2019 2:49 pm
από panagiotis iliopoulos
Καλησπέρα σας και χρόνια πολλά για την ημέρα. Έχω μία απορία. Ορίζεται η κυρτότητα της ευθείας y=ax+b αφού αυτή έχει μηδενική δεύτερη παράγωγο?

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 17, 2019 4:04 pm
από matha
Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 3:11 pm
από stranger
Ο αληθινός ορισμός της κυρτότητας είναι
f(tx +(1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) για κάθε  t \in [0,1] και x,y στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, το οποίο έχει τη δομή ενός γραμμικού χώρου.
Αν αντιστρέψουμε την ανισότητα έχουμε τον ορισμό της κοιλότητας.
Σε μια ευθεία ισχύει η ισότητα όποτε ισχύουν και οι δυο ανισότητες,το οποίο σημαίνει ότι μια ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 5:03 pm
από S.E.Louridas
Πραγματική ερώτηση καλού μαθητή, που απλά το θέτω εδώ:
... Άρα κάθε σημείο της ευθείας μπορεί να θεωρηθεί και σημείο καμπής της; ....

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
από stranger
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 7:28 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.
Δεν νομίζω ότι αυτός είναι ο ορισμός του σημείου καμπής.(inflection point)

Δεν έχει να κάνει γενικά με κυρτότητα.

Εχει να κάνει με επίπεδες καμπύλες.

Αν δεν κάνω λάθος ο ορισμός είναι:

Ένα σημείο μιας επίπεδης καμπύλης είναι σημείο καμπής αν σε αυτό το σημείο
αλλάζει πρόσημο η καμπυλότητα.

Αρα για μια καμπύλη που είναι γράφημα μιας συνάρτησης ο ορισμός
συμπιπτει με τον ορισμό του σχολικού.

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 8:21 pm
από stranger
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 7:28 pm
stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.
Δεν νομίζω ότι αυτός είναι ο ορισμός του σημείου καμπής.(inflection point)

Δεν έχει να κάνει γενικά με κυρτότητα.

Εχει να κάνει με επίπεδες καμπύλες.

Αν δεν κάνω λάθος ο ορισμός είναι:

Ένα σημείο μιας επίπεδης καμπύλης είναι σημείο καμπής αν σε αυτό το σημείο
αλλάζει πρόσημο η καμπυλότητα.

Αρα για μια καμπύλη που είναι γράφημα μιας συνάρτησης ο ορισμός
συμπιπτει με τον ορισμό του σχολικού.
Δεν το γνώριζα το συγκεκριμένο.Θα το ψάξω.
Αν συμπιπτουν οι δυο ορισμοί στην περίπτωση που έχουμε γράφημα πραγματικής συναρτησης όπως λες,τότε κάθε σημείο μιας ευθείας είναι πράγματι σημείο καμπής της(από το παραπάνω μου post).
Επίσης να διορθώσω κάτι που έγραψα παραπάνω.
Δεν χρειάζεται το πεδίο ορισμού της συναρτησης να είναι γραμμικός χώρος.Για να μιλήσουμε για κυρτότητα πρέπει να έχουμε ένα κυρτό υποσύνολο ενός γραμμικού χώρου σαν πεδίο ορισμού.
Στη περίπτωση του συνόλου των πραγματικών τα κυρτα υποσύνολα του είναι ακριβώς τα διαστήματα.

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 8:31 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 8:21 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 7:28 pm
stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.
Δεν νομίζω ότι αυτός είναι ο ορισμός του σημείου καμπής.(inflection point)

Δεν έχει να κάνει γενικά με κυρτότητα.

Εχει να κάνει με επίπεδες καμπύλες.

Αν δεν κάνω λάθος ο ορισμός είναι:

Ένα σημείο μιας επίπεδης καμπύλης είναι σημείο καμπής αν σε αυτό το σημείο
αλλάζει πρόσημο η καμπυλότητα.

Αρα για μια καμπύλη που είναι γράφημα μιας συνάρτησης ο ορισμός
συμπιπτει με τον ορισμό του σχολικού.
Δεν το γνώριζα το συγκεκριμένο.Θα το ψάξω.
Αν συμπιπτουν οι δυο ορισμοί στην περίπτωση που έχουμε γράφημα πραγματικής συναρτησης όπως λες,τότε κάθε σημείο μιας ευθείας είναι πράγματι σημείο καμπής της(από το παραπάνω μου post).
Επίσης να διορθώσω κάτι που έγραψα παραπάνω.
Δεν χρειάζεται το πεδίο ορισμού της συναρτησης να είναι γραμμικός χώρος.Για να μιλήσουμε για κυρτότητα πρέπει να έχουμε ένα κυρτό υποσύνολο ενός γραμμικού χώρου σαν πεδίο ορισμού.
Στη περίπτωση του συνόλου των πραγματικών τα κυρτα υποσύνολα του είναι ακριβώς τα διαστήματα.
Η ευθεία έχει καμπυλότητα 0 και τα σημεία της δεν είναι σημεία καμπής.

Ο ορισμός του σχολικού για κυρτές είναι για αυτές που λέμε στα κανονικά Μαθηματικά
γνήσιες κυρτές.
Εσυ από ότι βλέπω γνωρίζεις τους ορισμούς των κανονικών Μαθηματικών
που σε αρκετές περιπτώσεις δεν είναι ίδιοι με τα σχολικά Μαθηματικά.
Κοίταξε το.

Re: Κυρτότητα ευθείας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 29, 2019 8:36 pm
από Al.Koutsouridis
Στον ανήσυχο μαθητή θα μπορούσαμε δώσουμε και άλλον έναν ορισμό της κυρτής συνάρτησης, που κάνει την ευθεία κυρτή συνάρτηση και θα του είναι πιο κοντά στην κατανόηση της έννοιας, λόγω του είδη γνωστού του ορισμού του κυρτού σχήματος στην γεωμετρία.

Σε κάθε συνάρτηση μιας μεταβλητής y=f(x), στην οποία επιτρέπουμε και τιμές στο άπειρο (δηλαδή με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}), αντιστοιχείται στο επίπεδο (E^2) με συντεταγμένες \left ( x, y \right ) το σύνολο epi f = \{ \left ( x,y \right) \in E^2  , y \geq f(x) \}, το οποίο ονομάζεται επιγράφημα της συνάρτησης f.

Ορισμός: Η συνάρτηση το επιγράφημα της οποίας είναι κυρτό σύνολο, ονομάζεται κυρτή.

Και γιατί όχι, με ένα δυο ορισμούς ακόμη, να μην εισάγουμε και μερικά όμορφα θεωρήματα (στην περίπτωση μια μεταβλητής), όπως το θεώρημα δυϊκότητας του Fenchel , θεώρημα Fenchel-Moreau