Σελίδα 1 από 1
''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 26, 2008 11:05 pm
από chris_gatos
Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις των συναδέλφων στην προηγούμενη άσκηση...
Συνεχίζω με την εξής άσκηση...
Εστω
συνάρτηση για την οποία ισχύει:
,για κάθε
στο
.
Να αποδείξετε οτι
για κάθε
στο
.
Υ.Γ: Επεξεργασία σε latex 22/01/2016
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 26, 2008 11:17 pm
από nsmavrogiannis
Χρήστο είναι καλή η εκφώνηση; Φέρνω στο μυαλό μου την
στο
.
Μαυρογιάννης
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 26, 2008 11:23 pm
από chris_gatos
Κύριε Μαυρογιάννη είναι ακριβώς έτσι η εκφώνηση.Είναι στον πρώτο απο τους 3 τόμους της ''ανάλυσης'' του Τάκη του Βλάμου,σελ 42.
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 26, 2008 11:31 pm
από Mihalis_Lambrou
nsmavrogiannis έγραψε:Χρήστο είναι καλή η εκφώνηση; Φέρνω στο μυαλό μου την
στο
.
Μαυρογιάννης
Νίκο, η άσκηση ζητά το σύνολο τιμών να είναι στο [α, β], δηλαδή όπως το πεδίο ορισμού.
Οπότε το αντιπαράδειγμά σου δεν κάνει. Και εγώ είχα σκεφτεί ακριβώς το ίδιο
αλλά μετά είδα σωστότερα την εκφώνηση.
Όμως ίσως (λέω, ίσως) η εκφώνηση πρέπει να διορθωθεί σε "f συνεχής".
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 26, 2008 11:34 pm
από nsmavrogiannis
Ωχ! Ούτε που το είδα.
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 26, 2008 11:56 pm
από Mihalis_Lambrou
Με την έξτρα υπόθεση ότι η f είναι συνεχής, να μία απόδειξη:
Η υπόθεση δίνει ότι η f είναι 1-1 (απλό). Άρα, ως συνεχής (!) είναι μονότονη. Χωρίς βλάβη, αύξουσα.
Αν υπάρχουν p, q στο [α, β] με | f(p) – f(q) | > |p – q| τότε, χωρίς βλάβη a < p < q < b.
Έτσι έχουμε (τα απόλυτα φεύγουν διότι f αύξουσα)
f(b) – f(q) > = b – q
f(q) – f(p) > q – p
f(p) – f(a) > = p – a
Προσθέτοντας κατά μέλη f(b) – f(α) > b – α (γνήσια ανίσωση). Άτοπο διότι
f(b) – f(α) < = b – a (αφού το σύνολο τιμών περιέχεται στο [a, b] ).
Για f ασυνεχή, ίδωμεν....
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 27, 2008 12:17 am
από cretanman
Από τα δεδομένα παίρνουμε
Από την άλλη επειδή
άρα
και με πρόσθεση των δύο τελευταίων παίρνουμε
έτσι
. Λόγω των
και
παίρνουμε
.
Όμως η τελευταία ισότητα δίνει
και
ειτε
και
.
Στην πρώτη περίπτωση που
και
: Θέτουμε στην αρχική σχέση
και παίρνουμε
άρα
δηλαδή
, για κάθε
.
Από την άλλη θέτοντας
παίρνουμε
δηλαδή
δηλαδή
, για κάθε
.
Συνεπώς
Στη δεύτερη περίπτωση που
και
: Θέτουμε
στην αρχική κι έτσι παίρνουμε
δηλαδή
δηλαδή
δηλαδή
για κάθε
.
Από την άλλη, θέτοντας
στην αρχική παίρνουμε
δηλαδή
δηλαδή
δηλαδή
, για κάθε
.
Συνεπώς
.
Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει η ζητούμενη σχέση.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Υ.Γ. Πιστεύω ότι βγαίνει με γρηγορότερο τρόπο καθώς η παραπάνω προσδιορίζει ακριβώς τις συναρτήσεις που επαληθεύουν τη συγκεκριμένη σχέση. Είναι κάτι καλύτερο από αυτό που ζητάει η άσκηση. Φυσικά όλα αυτά, μόνο εάν τα παραπάνω είναι σωστά και δεν έχω χάσει κάπου.
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 27, 2008 12:42 am
από chris_gatos
Nομίζω Αλέξανδρε πως η λύση σου είναι μαθηματικά άρτια (δεδομένου της περασμένης ώρας).
Καληνύχτα και ευχαριστώ πολύ!
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 27, 2008 8:59 pm
από k-ser
chris_gatos έγραψε:Εστω f:[α,β]->[α,β] συνάρτηση για την οποία ισχύει:
|f(x)-f(ψ)|>=|χ-ψ|,για κάθε χ,ψ στο [α,β].
Να αποδείξετε οτι |f(x)-f(ψ)|=|χ-ψ| για κάθε χ,ψ στο [α,β]
....................
cretanman έγραψε:
....Συνεπώς
....
Βρίσκω καταπληκτικό το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Αλέξανδρου στην πολύ καλή, όπως αποδεικνύεται, έμπνευση της άσκησης.
Μπράβο και στους δύο: Στον Αλέξανδρο και σ΄αυτόν που εμπνεύστηκε την άσκηση για τον οποίο δεν γνωρίζω κατά πόσο είχε υπόψιν του το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Α. ή, αν φτάνει στο ζητούμενο, χωρίς αυτό!
Χρήστο, μήπως γνωρίζεις τη λύση που δίνει ο συγγραφέας;
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 27, 2008 9:39 pm
από chris_gatos
Την έχει άλυτη κύριε Σερίφη...
Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 28, 2008 1:03 am
από cretanman
k-ser έγραψε:
Μπράβο και στους δύο: Στον Αλέξανδρο και σ΄αυτόν που εμπνεύστηκε την άσκηση για τον οποίο δεν γνωρίζω κατά πόσο είχε υπόψιν του το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Α. ή, αν φτάνει στο ζητούμενο, χωρίς αυτό!
Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια κύριε Σερίφη!
Αλέξανδρος