mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 05, 2011 11:34 am**

1. Αν $\displaystyle{ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\cos ^{3}A+\cos ^3 B+\cos ^3 C+\cos A\cos B \cos C\geq \frac{1}{2}.}$

2. Αν $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{2-\cos A}+\frac{1}{2-\cos B}+\frac{1}{2-\cos C}\geq 2.}$

3. Αν $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{5-\cos A}+\frac{1}{5-\cos B}+\frac{1}{5-\cos C}\leq \frac{2}{3}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 05, 2011 6:32 pm**

Για την 1. μια λύση:
Με βάση τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα: $\sum{\cos ^{2}A}+2\prod{\cos A}=1$ ή $\prod{\cos A}=\frac{1-\sum{\cos ^{2}A}}{2}$ αρκεί να αποδειχτεί η $2\sum{\cos ^{3}A}\geq \sum{\cos ^{2}A}$ . Όμως ισχύει $\sqrt[3]{\frac{\cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C}{3}}\geq \sqrt{\frac{\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C}{3}}$ ως εφαρμογή της γνωστής ανισότητας των δυνάμεων. Άρα μετά από κάποιες πράξεις αρκεί να αποδειχτεί η ανισότητα: $\sum{\cos ^{2}A}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow \prod{\cos A}\leq \frac{1}{8}$ , που είναι γνωστή και αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους.
Για την 2. εφαρμογή της ανισότητας του Jensen για την κυρτή συνάρτηση: $f\left(x \right)=\frac{1}{2-\cos x}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 11:48 am**

themiskant έγραψε:...

Για την 2. εφαρμογή της ανισότητας του Jensen για την κυρτή συνάρτηση: $f\left(x \right)=\frac{1}{2-\cos x}$

Οι πράξεις που κάνω δε δείχνουν (παντού) κυρτότητα. Νομίζω ότι δεν κάνω λάθος. Φίλε Θέμη (;), μπορείς σε παρακαλώ να το ξαναελέγξεις;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 12:09 pm**

Έχετε δίκιο για την 2., δικό μου είναι το λάθος στις πράξεις. Για την 1. μήπως υπάρχει και άλλος τρόπος λύσης? Ακόμη για την 1. δεν ξέρω που χρειάζεται το δεδομένο ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 08, 2011 10:18 am**

themiskant έγραψε:Έχετε δίκιο για την 2., δικό μου είναι το λάθος στις πράξεις. Για την 1. μήπως υπάρχει και άλλος τρόπος λύσης? Ακόμη για την 1. δεν ξέρω που χρειάζεται το δεδομένο ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

Η απόδειξη που έχω για την 1) είναι ίδια με τη δική σου.

Το δεδομένο ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο χρησιμοποιείται στην εφαρμογή της ανισότητας των δυνάμεων (είναι $\displaystyle{\cos A, \cos B, \cos C >0}$ ).

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 08, 2011 2:02 pm**

Για το 3 :

Με εξέταση της δεύτερης παραγώγου διαπιστώνουμε ότι η $\displaystyle \frac{1}{5 - \cos x}$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής στο $[0, \pi]$ , οπότε αρκεί να εξετάσουμε τις περιπτώσεις του ισοσκελούς και των εκφυλισμένων τριγώνων (με τουλάχιστον μια μηδενική γωνία).

Στην περίπτωση του ισοσκελούς, έχουμε $\displaystyle \frac{2}{5 - \cos A} + \frac{1}{4 + 2 \cos^2 A} \leq \frac{2}{3}$ που ισοδυναμεί με την $(\cos A-1)(2 \cos A-1)^2 \leq 0$ που προφανώς ισχύει.

Στην περίπτωση C = 0

έχουμε $\displaystyle \frac{1}{5 - \cos A} + \frac{1}{5 + \cos A} + \frac{1}{4} = \frac{10}{25 - \cos^2 A} + \frac{1}{4} \leq \frac{2}{3}$ .

Δημήτρης Σκουτέρης

mathematica.gr

Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!