mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2009 4:58 pm**

Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{ \left| z \right| = \left| w \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left| {z - w} \right| }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{ z^2 + w^2 = 0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2009 5:46 pm**

Καλησπέρα σε όλους (...όσους δε λιάζονται)!

Θεωρώ μη μηδενικούς τους z,w (μη τετριμένη περίπτωση). Η σχέση δίνει άμεσα $\left|z-w \right|^{2}=\left|z \right|^{2}+\left|w \right|^{2}$ . (1)

(Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΟΑΒ, όπου Α και Β οι εικόνες των z,w είναι ορθογώνιο (στο Ο) και ισοσκελές. Συμπεραίνουμε ότι z=iw ή w=iz και με ύψωση στο τετράγωνο και πρόσθεση προκύπτει η αποδεικτέα.)

Στα σχολικά όμως πλαίσια, δηλαδή χωρίς την τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού, η (1) γίνεται: $(z-w)(\bar{z}-\bar{w})=\left|z \right|^{2}+\left|w \right|^{2}$ από όπου παίρνουμε: $Re(z\bar{w})=0\Leftrightarrow z\bar{w}\epsilon I\Leftrightarrow$ $\frac{z\left|w \right|^{2}}{w} \epsilon I\Leftrightarrow \frac{z}{w} \epsilon I\Leftrightarrow \frac{z}{w}=ci\Leftrightarrow z=ciw$ ,όπου c πραγματικός. Με χρήση της $\left|z \right|=\left|w \right|$ , προκύπτει $c=\pm 1$ . Έτσι z=iw ή w=iz και με ύψωση στο τετράγωνο και πρόσθεση προκύπτει πάλι η αποδεικτέα.

Λεωνίδας Θαρραλίδης.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2009 7:16 pm**

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{ \left| z \right| = \left| w \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left| {z - w} \right| }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{ z^2 + w^2 = 0 }$

καπως το ελυσα ομως δεν ξερω αν ειναι σωστο..μπορω να σας το στειλω κ να μου το διορθωσετε?

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2009 7:18 pm**

Δεν υπάρχει πρόβλημα να ανεβάσεις τη λύση σου ακόμη και αν έχεις λάθος .
Αν όμως δε θέλεις , στείλε μου προσωπικό μήνυμα .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2009 7:20 pm**

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Δεν υπάρχει πρόβλημα να ανεβάσεις τη λύση σου ακόμη και αν έχεις λάθος .
Αν όμως δε θέλεις , στείλε μου προσωπικό μήνυμα .

θα το προτιμουσα να σας στειλω προσωπικο μυνημα...μονο που επειδη ειμαι νεος δεν ξερω πως

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2009 7:23 pm**

Στην απάντηση που στέλνω τώρα , κάνε κλικ εκεί που γράφει π.μ και στη συνέχεια σβήσε το κείμενο το δικό μου και γράψε τη λύση σου .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 09, 2009 10:14 pm**

Η λύση και σε pdf .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 10, 2009 10:21 am**

Αν

τότε από τις υποθέσεις παίρνουμε w=0,

άρα

Αν $z\neq 0,$ τότε έστω Α, Β οι εικόνες των z,w αντίστοιχα. Από το θεώρημα συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ παίρνουμε:

$AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cdot\sigma\upsilon\nu\phi,$ όπου $\phi=\widehat{AOB}$

Ισοδύναμα παίρνουμε:

$|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2|z||w|\sigma\upsilon\nu\phi\Leftrightarrow(\sqrt{2}|z|)^2=2|z|^2-2|z|^2\sigma\upsilon\nu\phi$

$\Leftrightarrow\sigma\upsilon\nu\phi=0\Leftrightarrow\phi=90^0,$ άρα $z=\pm i w.$ Επομένως είναι $z^2+w^2=(\pm iw)^2+w^2=0.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 10, 2009 7:57 pm**

Με κάθε επιφύλαξη επισυνάπτω ένα αρχείο με επιπλέον λύσεις

mig4sol.pdf: (88.95 KiB) Μεταφορτώθηκε 148 φορές

Π.Γ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 11, 2009 10:48 am**

Ευχαριστώ τους συναδέλφους για τις λύσεις τους . Είχα υπόψιν μου μόνο 2 και έχουμε φτάσει ήδη στις 8 .

mathematica.gr

Άσκηση μιγαδικών

Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών