mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2015 7:32 pm**

Έστω

μιγαδικοί με $\displaystyle{\left|5\left|z\right| - 12\left|w\right|\right| = 26.$ Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\left|z\right|^2 + \left|w\right|^2 > 4.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2015 7:37 pm**

Grosrouvre έγραψε:Έστω μιγαδικοί με $\displaystyle{\left|5\left|z\right| - 12\left|w\right|\right| = 26.$ Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\left|z\right|^2 + \left|w\right|^2 > 4.$

Ισχύει

$\displaystyle{26=|5|z|-12|w||\leq 5|z|+12|w|}$ και σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz θα έχουμε

$\displaystyle{26^2\leq (5|z|+12|w|)^2\leq (5^2+12^2)(|z|^2+|w|^2)=13^2(|z|^2+|w|^2)\Leftrightarrow |z|^2+|w|^2>4.}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2015 8:08 pm**

G.Bas έγραψε: Ισχύει

$\displaystyle{26=|5|z|-12|w||\leq 5|z|+12|w|}$ και σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz θα έχουμε

$\displaystyle{26^2\leq (5|z|+12|w|)^2\leq (5^2+12^2)(|z|^2+|w|^2)=13^2(|z|^2+|w|^2)\Leftrightarrow |z|^2+|w|^2>4.}$

Νομίζω ότι πρέπει να προστεθεί και αιτιολόγηση της απουσίας ισότητας στο συμπέρασμα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2015 8:11 pm**

G.Bas έγραψε: $\displaystyle{26=|5|z|-12|w||\leq 5|z|+12|w|}$

Εδώ δεν μπορούμε να έχουμε ισότητα.
Ουσιαστικά όμως πρόκειται για ένα πρόβλημα απολύτων τιμών. Οι μιγαδικοί δεν υπεισέρχονται πουθενά.

mathematica.gr

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα