mathematica.gr

Καλησπέρα.
Συζητώντας με φίλο φθάσαμε στον εξής προβληματισμό:

Αν η είναι συνεχής και η f είναι συνεχής, τότε η g είναι:
συνεχής ή δεν ξέρουμε;

Έχετε κάποια άποψη;

Θωμάς

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλησπέρα.
Συζητώντας με φίλο φθάσαμε στον εξής προβληματισμό:

Αν η είναι συνεχής και η f είναι συνεχής, τότε η g είναι:
συνεχής ή δεν ξέρουμε;

Έχετε κάποια άποψη;

Θωμάς

Μπορούμε να πάρουμε την f σταθερή στο IR (άρα η f είναι συνεχής )και την g ασυνεχή. Τότε η σύνθεση των g και f , δηλαδή η είναι συνεχής ως σταθερή.

Επομένως η απάντηση είναι αρνητική, δηλαδή '' όχι αναγκαστικά '' .Να το ξαναδώ όμως λίγο, μήπως βρω κάτι καλύτερο !

Μπάμπης

Μπάμπη καλησπέρα.
Έχω την ίδια άποψη οπότε δεν χρειάζεται κάτι άλλο.

Να πω ότι ο προβληματισμός ξεκίνησε συζητώντας με το κοινό μας φίλο Γ.Γ πάνω στο εξής.

Αν η f είναι αντιστρέψιμη και συνεχής και αφού συνεχής, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η είναι συνεχής χωρίς να χρησιμοποιήσουμε συμμετρίες και μονοτονίες ;

Θωμάς

Η απάντηση είναι αρνητική.
Την έχω έτοιμη από το απόθεμα αντιπαραδειγμάτων από το βιβλίο μου
"Εικασίες και αντιπαραδείγματα", απλά δεν το περιέλαβα και αυτό.
Θεωρώ την f(x) = που είναι συνεχής σε όλο το R.
Επίσης θεωρώ την g(x) = 1 για x ρητό και g(x) = -1 για x άρρητο
(την απόκαλούμενη συνάρτηση Dirichlet). Αυτή είναι ασυνεχής στο R.
Όμως, η σύνθεση fog μας δίνει fog(x) = 1 για κάθε x πραγματικό.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος