mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 7:27 pm**

Είχα δει πριν κάτι μήνες μια άσκηση που έδινε μια συνάρτηση $f:\left[a,b \right]\rightarrow R$ για την οποία ισχύει ότι παίρνει κάθε τιμή από το σύνολο τιμών της ακριβώς δύο φορές.
Το ζητούμενο ήταν να δειχθεί ότι δεν ήταν συνεχής.
Προσπάθησα να βρω κάποια συνάρτηση που και χωρίς να είναι συνεχής θα έπαιρνε κάθε τιμή του πεδίου ορισμού της ακριβώς δύο φορές, αλλά πάντα μου έλειπαν ή πλεόναζαν τα f(a)

και

ή κάποια άλλη τιμή.
Γνωρίζετε αν υπάρχει κάποια συνάρτηση για την οποία να ισχύει το παραπάνω (φυσικά χωρίς να είναι συνεχής);
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 7:31 pm**

Αν δεν κάνω λάθος είναι αυτό: viewtopic.php?f=52&t=15491

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2011 7:57 pm**

Πράγματι αυτή είναι η λύση της άσκησης που είχα πρωτοδεί, η οποία όμως ζητούσε και συνέχεια (που βάζει πολλούς περιορισμούς).

Η απορία μου ήταν αν είναι δυνατόν να ισχύει το παραπάνω σε μια οποιαδήποτε συνάρτηση (ανεξαρτήτως συνεχείας) και μάλιστα σε κλειστό διάστημα
(γιατί αν π.χ. το ένα άκρο είναι κλειστό και το άλλο ανοιχτό τότε πράγματι υπάρχει τέτοια συνάρτηση)

Υ.Γ. Ωστόσο τώρα που το βλέπω, αν έχει δύο ανοιχτά άκρα τότε και πάλι δεν μου έρχεται κάποια συνάρτηση για την οποία να ισχύει το παραπάνω!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2011 11:28 am**

Pla.pa.s έγραψε:<...>
Η απορία μου ήταν αν είναι δυνατόν να ισχύει το παραπάνω σε μια οποιαδήποτε συνάρτηση (ανεξαρτήτως συνεχείας) και μάλιστα σε κλειστό διάστημα

Τέτοια είναι η $f: [-1,\,\ +1]\rightarrow \mathbb R$ παρακάτω. Δηλαδή

$f(0) = \frac {1}{2}, f\left(\frac {1}{2}\right) = \frac {2}{3}, ... \,, f\left(\frac {n}{n+1}\right)= \frac {n+1}{n+2}, ...$ και
f(x)= |x|